Отдельные плоские фигуры на чертежах образованы пересечением следов продолженных плоскостей граней многогранника. Любой плоской геометрической фигуре можно придать трёхмерный вид. Достаточно применить проецирование точек геометрической фигуры с последующим их соединением. Эту элементарную операцию легко продемонстрировать на компьютере, например, с помощью программного приложения Corel DRAW, выбрав тему «векторных выдавливаний». Эстетический эффект придаёт применение однородной заливки цветом по всему векторному выдавливанию, или к каждой поверхности отдельно. В результате получается иллюзия трёхмерной формы.
Мы сослались на этот приём с целью привлечения внимания обучающихся к чертежам, элементы которых являются составными частями пространства многогранных продолжений.
Процесс векторных выдавливаний рассматривается косвенно по отношению к принципу продолжений. Однако придание любому плоскому элементу моночертежа иллюзии трёхмерного вида, полезно для развития интуиции.
На рисунке 48 а изображен чертёж, на котором линии - это следы продолжений икосаэдра. Фигуры ограниченные пересекающимися линиями - отсеки, полученные в результате разбиения пространства продолженными гранями многогранника.
На рисунке 48 б из чертежа исключено некоторое число плоских фигур, придавая остальным фигурам эффект трёхмерного развития формы объекта.
Рис. 48.
На рисунке 48 в, г иллюзия трёхмерностиобъектаусиливается за счет вырезов, применяемым к некоторым его граням.
На рисунке 48 д, е изображены объекты, форма которых усложнена за счет выбора двух направлений векторных выдавливаний вдоль горизонтальной оси.
Способ векторных выдавливаний, применительно к плоским фигурам, позволяет перейти от иллюзии трёхмерности объекта, к его реальному макету. На рисунке 49 представлены изображения геометрической многогранной структуры. Макет построен по данным чертежа (рис. 48). Эскизы студента 2курса Маховых Д.
Конструктивные детали направлены вдоль оси симметрии третьего порядка (рис. 49).
Рис. 49.
Пропорции оснований призматических фигур макета задаются на чертеже пересечениями следов продолженных плоскостей икосаэдра (рис. 48а).
РАЗДЕЛ 5
ПРОСТРАНСТВО ДВОЙСТВЕННОЙ ПАРЫ
Приметы продолжений
Рёберно-сетчатые модели двойственной пары икосаэдра и додекаэдра - наглядная демонстрация разбиения внутреннего пространства секущими плоскостями. В качестве «инструмента» сечения предполагаются экваториальные и диагональные плоскости. Они закономерно упорядочивают изнутри пространственную структуру многогранников. Секущие плоскости взаимосвязаны между собой. Каждая из них может считаться плоскостью, на которой отражаются следы других продолженных плоскостей. Например, у икосаэдра всего двенадцать диагональных плоскостей, которые отсекают пятигранные углы. Рассматривая отдельно рёберную модель икосаэдра, обнаруживаем свободное внутреннее пространство. Однако снаружи и изнутри воспринимается гармонично организованная структура рёбер. Полный оборот многогранника вокруг его центра, вдоль экваториальной плоскости симметрии, усиливает эффект восприятия икосаэдра. Невольно возникает желание: облечь абстрактную среду внутреннего пространства многогранника в структуру геометрических элементов, состоящих из точек, линий, плоскостей, трёхмерных форм и др.
Беспорядочному процессу членения рёберного пространства, противопоставляется закономерное разбиение его экваториальными и диагональными плоскостями. Большие стороны «золотых» прямоугольников отражаются на диагональных плоскостях, образуя структуру пентаграмм и различных отсеков. Невидимые плоскости приобретают зримые черты. Стороны «золотых» прямоугольников воспринимаются следами продолжений. Рёберную модель, изнутри оформленную нитями, принимаем в качестве приметы продолжений. Большие стороны названных прямоугольников (они также стороны пентаграмм) в центре диагональных плоскостей ограничивают правильные пятиугольники. Пятиугольники составляют двенадцатигранник - додекаэдр. Грани додекаэдра лежат в диагональных плоскостях, следовательно, продолжаются.
Каждые пять рёбер икосаэдра ограничивают диагональную плоскость сечения правильной пятиугольной фигурой. Примем одну из диагональных плоскостей в качестве проекции. Если мысленно удалить два противоположных пятигранных угла икосаэдра, то в остатке образуется фигура - пятиугольная антипризма (рис. 50 внизу). На этом рисунке (вверху) изображена развёртка антипризмы - многогранника, полученного в результате отсечения двух его пятигранных углов. Боковые грани антипризмы - десять равносторонних граней икосаэдра. На основаниях антипризмы изображены пентаграммы. Они являются проекциями моночертежа, которые принято называть продолжениями додекаэдра. Внутреннее пространство икосаэдра представляется продолжениями двойственного ему многогранника (додекаэдра).
Примем к сведению непрерывное продолжение диагональных и экваториальных плоскостей за внешние пределы икосаэдра. В таком случае экваториальные плоскости отразятся следами, то есть продолжениями его рёбер.
На рисунке 51 (вверху) изображен макет пятиугольной антипризмы.
Рис. 50.
Рис. 51.
На основаниях антипризмы и развёртки (рис. внизу) отмечены линиями следы продолжений. На моночертеже выделяются три равносторонних пятиугольника. Центральный пятиугольник - грань додекаэдра, находящегося внутри своего двойника. Средний пятиугольник - фигура сечения диагональной плоскости икосаэдра. Внешний пятиугольник - последующая фигура, ограничивающая секущую плоскость. Отметим, что все пятиугольники и продолжения их сторон лежат в диагональной плоскости икосаэдра. На макете (рис. 51 вверху) пятиугольного основания антипризмы в центре заштрихованы равнобедренные треугольники. Они являются лучами малой пентаграммы и образуют пятиугольные пирамиды, примыкающие к граням додекаэдра в трёхмерном пространстве. А равнобедренные треугольные лучи большой пентаграммы образуют треугольные пирамиды, примыкающие к граням икосаэдра в трёхмерном пространстве. Таким образом, двойственные многогранники (додекаэдр, икосаэдр) и пространственные отсеки остаются внутри рёберно-сетчатой модели.
Далее за икосаэдром может формироваться очередной двойственный додекаэдр, за которым, закономерным образом, последует двойственный икосаэдр и т. д.
Заметим, что пятиугольные основания антипризмы (рис. 51 вверху) являются фигурами, ограничивающие диагональные плоскости сечения, принадлежащие очередному додекаэдру. Их легко обнаружить в виде параллельных пар плоскостей по отношению к параллельным парам граней додекаэдра. Сменное образование двойственной пары многогранников происходит по причине пересечения продолжающихся экваториальных и диагональных плоскостей того или иного многогранника.
Теперь переведём взгляд из пространственной среды икосаэдра (рис. 50, 51) на пространственную модель додекаэдра.
Выбирается его положение так, чтобы в поле зрения попала фигура сечения диагональной плоскости в виде неправильного шестиугольника. У додекаэдра отсекаются два противоположных трёхгранных угла. Диагональные плоскости ограничатся неправильными шестиугольниками - основаниями призматоида (рис. 52). На рисунке внизу изображена его развёртка. Шестиугольное основание трёхмерного призматоида и основания развёртки совмещены со схемой моночертежа. Он отражает следы продолжений икосаэдра во внутреннем пространстве додекаэдра. На изображении, синим цветом отмечены линии - следы экваториальных плоскостей, а красным - следы боковых граней пятиугольных антипризм додекаэдра. На странице 14 -15 исследования антипризмам дано описание, как формам, которые формируются внутри додекаэдра. Их основаниями являются пятиугольные грани додекаэдра.
Рис. 52.
