Отметим несколько моментов по изготовлению рёберно- сетчатых моделей. Сначала конструируется рёберная модель многогранника. Его форма должна иметь жесткие рёбра, рис. 16 (4).
Они могут быть изготовлены из плотной бумаги, картона или других материалов.
Рис. 16. Рис. 17.
Бумажные модели получаются проще всего, но их рёбра не обладают достаточной прочностью. Рёбра моделей из бумаги следует дополнительно укреплять изнутри устойчивыми к изгибу деталями. Например, на рисунке 17 изображен многогранник - рёберно-сетчатый икосододекаэдр. В желобки его рёбер изнутри закрепляются с помощью клея, свёрнутые туго, бумажные «рулончики». Это придаёт дополнительную прочность рёберному многограннику, которая необходима при натяжении нитей. Во всех вершинах многогранника делаются отверстия тонкой иглой для протягивания через них нитей. При такой неоднократной операции отверстия вершин рёберной модели «разбиваются». Этот эффект упреждается простым способом. Предварительно на все вершины наносятся мелкие капли быстросохнущего клея. Концы нитей, продетые через вершинные отверстия, фиксируются на поверхности рёбер клеем или с помощью клеевой ленты. Преподавателю, обучающему студентов макетированию, не составляет особого труда проконтролировать процесс изготовления подобных моделей.
Очередной этап работы потребует определённого усердия по оформлению внутреннего пространства многогранника сетью нитей.
О начальных шагах по распределению нитей внутри рёберных многогранников, было изложено в пункте «Сталь, организующая пространство».
Используем рёберный икосаэдр. Внутри его, в области диагональных плоскостей сечения, с помощью нитей моделируется пятиконечная звезда (пентаграмма). Затем диаметрально противоположно строится еще одна пентаграмма. Условимся воспринимать нити в качестве «линий» и «рёбер», а места их пересечения - «точками». Таким способом внутреннее пространство икосаэдра постепенно заполняется необходимым числом пентаграмм, то есть двенадцатью.
На рисунке 18 представлена рёберная модель икосаэдра с видом на «ребро» (фигура а), «грань» (фигура б) и «вершина» (фигура в). Внутри его видов наблюдается двойственный додекаэдр, образованный пересечением диагональных плоскостей. Рёбра додекаэдра для наглядности отмечены красным цветом. На отрезки нитей (рёбра додекаэдра) закреплены цветные бумажные полоски, продольно раздвоенные надрезами.
Рис. 18.
РАЗДЕЛ 3
ЗОЛОТЫЕ ПРОПОРЦИИ
Золотой прямоугольник
С древности и до наших дней в деятельности людей широко применяются законы математики и геометрии. Творения в различных видах искусств, архитектуры и дизайна основываются на, так называемых, системах масштаба, ритма, пропорций. В исследованиях особое место уделяется принципам геометрической композиции: «В число этих принципов входят классические системы пропорциональности - золотое сечение и динамические прямоугольники, а также соотношения и пропорции, взаимосвязанность форм и регулирующие линии» (7, с.7).
Рассматривая многогранные формы, известные как тела Платона и тела Архимеда, обнаруживаем золотые пропорции пентаграмм (пятиконечных звёзд), треугольников и прямоугольников с присущими им пропорциональными соотношениями сторон.
Пять платоновых многогранников занимали исследовательский талант фра Лука - монаха Пачоли - друга Леонардо да Винчи. В них Пачоли искал «божественные эффекты».
В своей книге «О божественной пропорции», посвященной миланскому герцогу Людовико Сфорца и изданной в Венеции (1509 г.), Лука Пачоли в своеобразной эмоциональной манере выразил своё отношение к свойствам золотого сечения. Пачоли продолжает: «Во-вторых, существенное действие рассматриваемой пропорции, в -третьих, её особое действие, в- четвёртых, невыразимое действие, в-пятых, её чудесное действие, в-шестых, её неизъяснимое действие, в-седьмых, её неугасимое действие…» и т.д., остановившись на 13 свойствах (11, с. 307).
Из всех пяти правильных многогранников выделяются двойственные тела (икосаэдр, додекаэдр). Они могут представляться, своего рода, наглядно-демонстрационными объектами «золотых» пропорций. Приведём одно из описаний икосаэдра, изложенное в своей книге К. Левитиным: «Вглядитесь повнимательнее в эту древнейшую игральную кость (13). К каждой вершине сбегаются пять треугольников, свободные стороны которых образуют уже знакомый нам правильный пятиугольник. Если же соединить между собой любые два противоположные ребра икосаэдра, то получится прямоугольник, тоже имеющий отношение к божественной пропорции, - его большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон - к большей» (8, с.84, 85). См. рисунок 19.
Рис. 19. Рис. 20.
Применим аналогичный подход к большему числу противоположных пар рёбер, так называемой «игральной кости». Используем для этого бумажную модель рёберного икосаэдра. Соединим между собой каждую пару рёбер поочерёдно: первую, вторую, третью. В результате образуется трёхмерная конструкция, состоящая из трёх пересекающихся между собой прямоугольников (рис. 20 - справа). Примем прямоугольники в качестве координатных плоскостей. Они лежат в экваториальных плоскостях, каждый из которых делит многогранник на две равные половины.
Рассмотрим координатные плоскости на отдельном чертеже (рис.21). На нём схематично представлено пространственное расположение плоскостей, имеющее прямое отношение к внутреннему пространству икосаэдра и додекаэдра.
Рис. 21. Рис. 22.
Линии пересечения плоскостей: ось абсцисс (×), ось ординат (ý), ось аппликат (ⱬ). Оси соответствуют понятиям: длины (вправо - влево), ширины или глубины (на себя - от себя) и высоты (вверх - вниз). Отрезки осей ×, ý, ⱬ, расположенны в пределах «золотых» прямоугольников и принадлежат трём взаимно перпендикулярным координатным плоскостям. Они пересекаются в центральной точке многогранника. Эти отрезки (перпендикуляры) равны величине больших сторон «золотых» прямоугольников. Отметим, что оси ×, ý, ⱬ являются осями симметрии второго порядка. На рисунке 20 (справа) можно наблюдать пространственное расположение «золотых» прямоугольников, которые моделируют координатные плоскости внутри пространства икосаэдра.
Приведём общеизвестный способ построения «золотого» прямоугольника, который представлен на изображении (рис.22).
Сначала строится квадрат MNPQ. Делится его сторона MQ пополам в точке e. Из этой точки, как из центра, радиусом, равным e P, засекаются продолженные стороны квадрата. То есть, из точки P проводится дуга на продолженную сторону квадрата к точке пересечения f. В результате простых геометрических построений создаётся «золотой» прямоугольник. Его стороны изображены толстой линией (1, с. 53).
«Золотой» прямоугольник приобретает динамические свойства, если применить к нему различные способы деления, которые дают множество гармоничных сочетаний. В книге К. Элама «Геометрия дизайна» приведено развёрнутое описание пропорций «золотого сечения». Так, например, иллюстрируя схемы динамических прямоугольников, автор отмечает: «Процесс деления динамического прямоугольника на серию гармоничных фигур очень прост. Диагонали соединяют противоположные углы, а затем сеть параллельных и перпендикулярных линий формируют стороны и диагонали» (7, с. 34). В свою очередь, автор подчеркивает значительное преимущество динамических прямоугольников, в сравнении со статическими прямоугольниками. Отношение сторон последних выражается в рациональных дробях (1/2, 2/3, 3/4 и т.д.). Отношение сторон динамических прямоугольников выражается в иррациональных дробях, что приводит к моделированию бесконечного множества разнообразных фигур на основе членения «золотого» прямоугольника (там же).
