Раздел 1. Физические основы механики. 3 страница

 

Задача №23

На гладкой ровной поверхности стола лежит тонкий однородный стержень массой m и длиной L. На конец стержня, перпендикулярно его оси действует импульс силы F, направленный горизонтально. На какое расстояние передвинется центр масс стержня за время поворота? Чему равны энергии поступательного и вращательного движения стержня и его полная энергия после воздействия импульса силы? Трением пренебречь.

 

Решение

 

На систему подействовал импульс внешней силы и изменил движение. Импульс силы равен изменению импульса тела. Под действием импульса силы центр масс тела приобрёл скорость v. Пусть ω = dφ/ dt -угловая скорость вращения относительно ц. м.

импульс силы.

Момент силы , (применяем основное уравнение динамики вращательного движения)

Стержень однородный, вращается относительно середины, поэтому момент инерции равен

.

 

 

Задача.

 

Гладкий стержень свободно вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью w₀ вокруг неподвижной вертикальной оси О, относительно которой его момент инерции равен J. На стержне около оси вращения находится небольшая муфта массой m соединённая с этой осью нитью. После пережигания нити муфта начинает скользить вдоль стержня. Найти скорость v’ муфты относительно стержня в зависимости от её расстояния r до оси вращения.

Решение

 

Сохраняется кинетическая энергия:

 

(1)

и сохраняется момент импульса:

Jw₀ = (J + mr²) w (2)

 

v² = (v^¢)² + (w r)² (3)

 

 

wr - скорость переносного движения

v’ - скорость муфты относительно стержня

v - полная скорость муфты относительно земли.

 

Задача.

 

На жёстком проволочном полукольце радиуса r₀ которое может свободно вращаться вокруг вертикальной оси AB, находятся две одинаковые небольшие муфточки. Их соединили нитью и установили в положение 1-1. Затем всей установке сообщили угловую скорость w₀ и, представив её самой себе, пережгли нить в точке А. Считается, что масса установки сосредоточена в муфточках, найти её угловую скорость в момент, когда муфточки без трения соскользнут в крайнее положение 2-2.

Решение:

 

r²w² – r₀²w₀² = 2gh (1)

закон сохранения

D(E_кин) = mgh; v = wr

В горизонтальной плоскости силы не действует и момент жидкости сохраняется.

L₁ – момент оси тяжести (в горизонтальной плоскости)

L = mvr = mwr²=Jw; J – момент инерции

r²w = r₀²w (2)

r₀² = r² + h² (3)

 

 

 

Задача №24

На неподвижное тело массой 12 кг в течение времени t действует сила F = F₀e^--at , где F₀ = 10H, a = 2с^—1.

Определить скорость движения тела после действия силы в течение времени τ.

 

Решение

mv_K= - импульс тела при переменной во времени силе

F = F₀ e^--at

mv_K= = F₀e^--atdt= e^--atdt(-at)=

= e^--at = (e^--at -1)

Задача №25

На наклонной плоскости составляющей угол a с горизонтом лежит материальная точка. Ей щелчком сообщают вдоль плоскости горизонтальную скорость u₀. Через какое время материальная точка остановится, если коэффициент трения о плоскость m > tga.

 

Решение

 

Угол между ОХ и скоростью u в некоторый момент времени равен b

 

 

 

В горизонтальной плоскости действует скатывающая сила F_Z = mg×sina и сила трения F = mmg cosa. За время Dt импульс материальной точки изменится на mdu =ΣF_iΔt.

Проекция силы трения на ось Х составит: F_ТРХ = -m mg cosa sinb, а проекция скорости - dv = d (v sinb)

В проекции на ось Х изменение импульса запишем в виде

md (v sinb) = (-F_ТР sinb + F_СК) dt

Проектируем уравнение импульсов на направление касательной к скорости: mdv = (-mmg cosa + mg sina sinb) dt = (-F_ТР +F_СК sinb)dt.

Заметим, что

; .

Разделим обе части уравнения на F_СК и F_ТР соответственно и сложим

=

+ =

dt = +

t= = (-v₀)+ ´

´ = =

 

Задача №26

По тонкому стержню, покоящемуся на гладком столе производится в некоторой точке А удар с силой F₁.

1) Показать, что в момент удара стержень вращается около вертикальной оси проходящей через точку О. Причём, если трение пренебрежимо мало, то АС*ОС = J_с/M = S₁S₂ , J_с - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс, M – масса стержня, S₁ и S₂ расстояния от точек и до точки .

2) Что произойдёт, если ударить по стержню в точке О? Где будет проходить ось вращения?

3) Что произойдёт, если ударить по самому концу стержня?

 

Решение

 

Приложим мысленно в точке С (в центре масс) две равные и противоположные силы F₁ и F₂, сумма которых равна нулю. При этом сила F₁ по величине и направлению равна силе удара. Но теперь сила F₁, проходящая через ц.м., _. вызовет поступательное движение стержня с ускорением а = F₁/M, а под действием пары сил F₁ и F₂ будет происходить вращение с угловым ускорением около оси, проходящей через центр масс С. Вследствие вращения стержня точка О должна бы двигаться с линейным ускорением , но если точка О покоится, то . Имеем

; .

 

Задача №27

На стоящий на гладкой горизонтальной поверхности клин массой М падает шар массой m и отскакивает в горизонтальном направлении. Найти горизонтальную проекцию скорости клина n_x. Будем считать, что после удара движение происходит без трения, удар – абсолютно упругий.

 

Решение

 

За время удара импульс силы тяжести пренебрежительно мал, поэтому мы можем записать закон сохранения энергии и закон сохранения импульса системы шарик - клин в проекциях на оси ОХ и ОУ (горизонтальную и вертикальную соответственно).

V – скорость клина, М – его масса

Начальная энергия шарика равна mgh

.

Единственная сила, которая может изменить импульс силы, это сила тяжести, но она не успевает это сделать. (Если шарик попадёт в ц.м., то вращения не будет, в остальных случаях будет добавляться вращение).

.

 

Задача №28

Из пушки соскальзывающей по наклонной плоскости без трения и прошедшей путь L, производится выстрел в горизонтальном направлении. При какой скорости снаряда пушка остановится после выстрела?

 

Решение

 

В момент выстрела импульс силы тяжести намного меньше импульса силы реакции, т.е. импульс системы пушка – снаряд будет сохраняться в направлении перпендикулярном силе реакции наклонной плоскости, т.е. вдоль наклонной плоскости. Ось Х направим вдоль наклонной плоскости вниз.

m – масса снаряда, М – масса пушки, v₀ – скорость пушки в момент выстрела;

u₀ можно найти из закона сохранения энергии.

;

проекция горизонтальной скорости снаряда V_c на ОХ:

Импульс снаряда по оси Х

.

 

Задача №29

Мешок с мукой скользит без начальной скорости по гладкой доске под углом 60° к горизонту. После спуска мешок падает на шероховатый пол с коэффициентом трения m = 0,7. Где остановится мешок?

 

Решение

 

Пусть масса мешка m, тогда из закона сохранения энергии для движения мешка по наклонной плоскости с высоты h имеем скорость мешка в момент удара о пол

 

 

Удар мешка в пол неупругий. Пусть N - сила реакции, возникающая при ударе мешка о пол. Импульс силы N - компенсирует вертикальную составляющую импульса мешка.

Мешок дальше двигаться не будет и остановится у подножия наклонной плоскости.

Задача №30

На наклонной плоскости с углом a находится скатывающееся тело, радиус которого R, момент инерции J, масса тела М. Найти ускорение центра масс (ц.м.) тела при скатывании и силу трения. Проскальзывания нет.

 

Решение

 

Пусть R - сила реакции. Момент N вокруг мгновенного центра вращения А (точка контакта тела с наклонной плоскостью) создаёт только сила тяжести mg с плечом АD

по теореме Штейнера (J_c – момент инерции тела вокруг оси, проходящей через центр масс)

; J_Ae = mgr sina; ;

Для нахождения силы трения необходимо записать второй закон Ньютона для движения центра масс. В проекции на направление движения имеем

ma_c = mg sin a - F_тр.

Отсюда и находим F_тр.

Другие способы решения этой задачи см. И.В. Савельев. Курс общей физики, т. 1, § 41

 

Задача №31

В каком случае энергия запасённая в пружине больше, когда она деформирована от Х₀ на DХ, или от Х₀ + DХ на DХ.

 

Решение

 

; ;

.

Во втором случае энергии запасено больше в 3 раза.

 

Задача №32

Какую форму должна иметь однородная вертикальная колонна с круглым поперечным сечением, чтобы в её произвольном горизонтальном сечении, давление создаваемое грузом массой m помещённом на верхнем основании и собственным весом колонны было одинаковым, Плотность материала колонны r, радиус её верхнего основания r.

Решение

 

Ось Y направим горизонтально, ось Х вертикально вниз. Пусть уравнение образующей , тогда объем тела вращения (колонны) .

Давление в любом сечении ,

или

.

Здесь справа стоит выражение для давления груза на верхнее основание. Преобразуем данное выражение

.

Продифференцируем обе части по х.

;

; ; ;

;

.

С – постоянная интегрирования

Используя начальные условия при X = 0, Y = r, получим:

,

 

Задача №33

Определить время опорожнения конической воронки с углом при вершине 2a, заполненной водой, если отверстие, через которое вытекает вода, имеет площадь S, высота уровня воды до отверстия h.

 

Решение

 

Радиус верхней поверхности воды в воронке есть функция высоты уровня воды , площадь этой поверхности .

Если вода вытекает без трения, то сохраняется механическая энергия воды ; отсюда ;

Объем воды, вытекающий за время dt, определенный по верхнему уровню: dV = Sdh = pr² dh; .

Объем воды, вытекающий за это же время через нижнее отверстие

dV = S₀ vdt, следовательно

pf²(h)dh = S₀ (2gh)^1/2dt

(1)

Систему координат выбираем связанной с верхним уровнем воды и записываем уравнение образующей конуса

X₀ = 0, X₁ = H, ;

Y₀ = R, Y₁ = r₀

, ,

,

где ;

Теперь вычислим интеграл в правой части (1), представив его в виде суммы интегралов J₁, J₂, J₃:

;

Обращаясь к (1), имеем

,

, .

 

 

Задача №34.

Гиря массой m = 32 кг подвешена к балке на двух канатах L₁ = 3м, L₂ = 4м. Расстояние между точками подвеса L₃ = 3м. Найти силу натяжения канатов.

 

Решение

 

Условие равновесия гири:

Проектируем это векторное равенство на оси x и y:

Возводим в квадрат и складываем. Из геометрии имеем

; ;

; ;

;

;

 

Вывод:

Силы натяжения канатов не зависят ни от упругих свойств канатов, ни от геометрических размеров этих канатов.

 

Задача №35

Тело массой m подвешено на 3-х канатах симметрично. Центральный канат длиной L₁ имеет модуль Юнга Е₁ и поперечное сечение S₁. Боковые канаты одинаковы и характеризуются величинами L₂, Е₂, S₂. Найти натяжение канатов.

 

 

Решение

 

Предыдущая задача свелась к разложению вектора mg по двум векторам, направленным по канатам. Эта задача решается однозначно. Задача разложения вектора mg по 3-м направлениям не может быть решена однозначно без дополнительных соображений, например, без учёта деформаций.

; ; ; ;

; ;

; ;

.

 

Вывод:

Силы натяжения канатов зависит как от геометрических характеристик, так и от физических характеристик материала канатов.

 

Задача №36

Стальная балка длиной 1м, зажата между вертикальными опорами так, что не может деформироваться. Определить силу упругости, возникающую в балке, при её нагревании на 30°С. Определить величину упругой энергии накопленной в балке.

 

Решение.

 

Имеет место тепловое расширение

; ;

α – коэффициент теплового расширения материала

Считаем, что при расширении справедлив закон Гука

;

Е – модуль Юнга.

Преобразуя, получим

F = 10×10^-4×30×10¹⁰×30×20×10¹⁰×13×10^-6 = 9×10⁴H

Для вычисления энергии используем формулу

, где k = .

Задача №37

Три точки массами m₁, m₂, m₃, расположены в углах треугольника. Найти положение центра тяжести. Решить эту же задачу для треугольной пластины, для треугольника из стержней массами m₁, m₂, m₃ (см. таблицу «Центры масс»).

 

Решение

 

y

 

x

 

Первый способ: