С учетом неполноты вытеснения.
Теория Баклея - Леверетта
При проектировании разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений большое внимание уделяется задачам движения границы раздела двух жидкостей в пористой среде. Например, в нефтяных пластах, разрабатываемых при водонапорном режиме, вода обычно не заполняет полностью область, первоначально занятую нефтью. В этой области происходит одновременное движение вторгшейся воды и оставшейся, постепенно вымываемой нефти.
Решение такого важного вопроса, как повышение коэффициента нефтеотдачи нефтяных месторождений, разрабатываемых при поддержании пластового давления закачкой в пласт воды или другого вытесняющего нефть агента, связано с задачами фильтрации многокомпонентных жидкостей.
При фильтрации двухфазной жидкости для каждой фазы в отдельности справедлив закон Дарси. В общем случае при наличии массовых сил фильтрация двухфазной несжимаемой смеси описывается (по числу неизвестных р1, р2, Q1, Q2, σ) следующей замкнутой системой уравнений:
(5.144)
(5.145)
(5.146)
(5.147)
(5.148)
где σ - насыщенность порового пространства первой (вытесняющей) фазой; р1 и р2 - соответственно давления каждой фазы, которые, вообще говоря, не равны друг другу из-за капиллярных эффектов; X - проекция массовых сил, отнесенная к единице массы; рк(σ) — капиллярное давление; Q1 и Q2 - в формуле Лапласа (5.146) - главные радиусы кривизны менисков, контактной поверхности, зависящие, в основном, от насыщенности; σ - поверхностное натяжение. Остальные обозначения прежние.
69
На практике капиллярное давление считается известной экспериментальной функцией насыщенности и представляется в виде зависимости безразмерной функции Леверетта
от насыщенности σ порового пространства вытесняющей жидкостью (рис. 89), 
- статический краевой угол между жидкостями и породой.
Оценки, сделанные М. Маскетом, показывают, что в пласте градиент капиллярного давления обычно мал по сравнению с градиентом гидродинамического давления всюду, кроме зоны фронта вытеснения, где насыщенность и резко изменяется, поэтому имеют место большие значения градиента капиллярного давления (см. рис.5.35), которые необходимо учитывать. Однако из-за исключительной сложности решения задач двухфазной фильтрации оба эти фактора не принимаются во внимание, а капиллярность косвенно учитывается самим видом экспериментальных кривых k1*(σ), k2*(σ), для несцементированных и слабосцементированных песков (рис.5.36); на графиках k1*(σ)= kв*(σ), k2*(σ)= kн*(σ),.
Наиболее разработанной теорией является теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде Баклея - Леверетта.
Рассматривая двухфазную фильтрацию в трубке тока постоянного сечения при отсутствии капиллярного давления и без учета массовых сил и полагая, что суммарная скорость фильтрации является постоянной величиной: w1+w2 =w = const, Баклей и Леверетт из системы уравнений (5.144) -(5.148) получили дифференциальное уравнение относительно σ
(5.149)
где т - пористость пласта; f (а) - производная от функции Леверетта:
(5.150)
Уравнение (XIV.6) является квазилинейным дифференциальным уравнением 1-го порядка в частных производных. Решение уравнения (5.149) имеет вид
(5.151)
Где х(σ,0) - координата точки с заданной насыщенностью σ в момент t=0.
Уравнение (5.151) определяет перемещение точки с заданной насыщенностью с течением времени.
Скорость распространения заданной насыщенности σ получим из уравнения (5.154), взяв производную dx/dt,
(5.152)
Функция Леверетта f(σ) и ее производная f’(σ) представлены на рие.5.37. Как видно из графика, одному и тому же значению f(σ), определяющему скорость распространения насыщенности заданной величины, соответствуют дна разных значения насыщенности σ.
Это означает, что, начиная с некоторого момента, распределение насыщенности становится многозначным, а это физически невозможно. Многозначность означает, что в зоне движения двухфазной жидкости имеет место скачок насыщенности (рис.5.38).
Баклей и Леверетт из условия материального баланса получили формулу для определения значения фронтовой насыщенности σф. (насыщенности на скачке):
(5.153)
Очевидно, что фронтовую насыщенность σф можно легко определить графически. Проведя из начала координат касательную к кривой f(σ) (рис.5.39) и опустив перпендикуляр из точки касания на ось а, получим значение фронтовой насыщенности.
Подставив σф в (5.151), можем найти координату скачка насыщенности
Хф.
Чтобы найти среднее значение насыщенности в переходной зоне, разделим объем поступившей вытесняющей жидкости на объем перового пространства переходной зоны, определяемого координатой Хфпри площади поперечного сечения пласта, равной единице.
(5.154)
Среднюю насыщенность σср можно определить графически следующим образом. Если продлить касательную к кривой f(σ) до пересечения с прямой f(σ)=1, то значение σ в точке пересечения и есть средняя насыщенность σср (см. рис.5.39).
Как правило, среднее значение насыщенности порового пространства водой σср значительно меньше единицы. Поэтому, например, в процессах вытеснения нефти водой для более полного извлечения нефти из пласта на объем добытой нефти нужно закачать несколько объемов воды.
Задача 46
Построить функцию Леверетта f(σ) в случае, если зависимости относительных фазовых проницаемостей нефти k'н и воды k'в от насыщенности водой порового пространства σ задаются кривыми Леверетта (см. рис.5.36), отношение
μ0= μн/ μв= 4.
Решение. Задаемся рядом значений σ, для каждого значения а по графику Леверетта (см. рис.5.36) определяем соответствующие k'н и k'в, подставляя их в (5.150), подсчитываем f(σ) и строим график f(σ) (см. рис.5.39). Результаты расчетов приведены ниже.
| σ,% | |||||||||||
| k'н | - | - | 0,70 | 0,50 | 0,34 | 0,23 | 0,13 | 0,06 | 0,02 | ||
| k'в | 0,01 | 0,05 | 0,11 | 0,21 | 0,33 | 0,51 | 0,72 | - | |||
| f(σ) | 0,074 | 0,37 | 0,66 | 0,87 | 0,96 | 0,99 |
Задача 47
Используя полученный в задаче 46 график функции Леверетта (см.рис.5.39), определить значение фронтовой насыщенности σф и средней
насыщенности σср порового пространства водой в зоне вытеснения нефти водой.
Решение. Для определения фронтовой насыщенности σфиз начала координат проведем касательную к кривой, выражающей функцию Леверетта (см. рис.5.39). Значение насыщенности в точке касания соответствует фронтовой насыщенности σф =59 %.
Значение средней насыщенности найдем, продолжая касательную к кривой f(σ) до пересечения ее с горизонтальной прямой f(σ)=l. Значение насыщенности в точке пересечения касательной с прямой f(σ)=l определяет значение σср =69 %.
Задача 48
В однородном по толщине, пористости и проницаемости пласте происходит прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой по закону Дарси. Определить положение фронта вытеснения в различные моменты времени, если пористость пласта m=20 %, отношение μ0= μ2/ μ1=2, дебит галереи Q=21,6*103 м3/сут, ширина фильтрационного потока В=500 м, толщина пласта h=10м. Зависимости относительных проницаемостей нефти и воды от насыщенности норового пространства водой задаются графиками Эфроса, для которых графики функции Леверетта f(σ) и ее производной f(σ) представлены на рис.5.40 и 5.41.
Насыщенность пласта связанной водой составляет σсв=18 %.
Решение. Определим значение σф, для чего проведем из начала координат касательную к кривой f(σ) (см. рис. 5.40). Как видно из чертежа.
σф =0,84 и соответствующее значение производном f (σф)=1,4 (см. рис.5.41). Суммарная скорость фильтрации
Задаваясь различными значениями t, подсчитаем по (5.151) координату фронта вытеснения хф, учитывая, что в начальный момент времени х (σф,0)=0:
Результаты вычислений приведены ниже.
| t,ч | |||||
| хф, м | 1,26 | 15, 1 | 30,2 | 60,4 |
На рис.5.42 представлено распределение насыщенности для двух моментов времени.
