Движение границы раздела двух жидкостей в пористой среде

С учетом неполноты вытеснения.

Теория Баклея - Леверетта

При проектировании разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений большое внимание уделяется задачам движения границы раздела двух жидкостей в пористой среде. Например, в нефтяных пластах, разрабатываемых при водонапорном режиме, вода обычно не заполняет полностью область, первоначально занятую нефтью. В этой области происходит одновременное движение вторгшейся воды и оставшейся, постепенно вымываемой нефти.

Решение такого важного вопроса, как повышение коэффициента нефтеотдачи нефтяных месторождений, разрабатываемых при поддержании пластового давления закачкой в пласт воды или другого вытесняющего нефть агента, связано с задачами фильтрации многокомпонентных жидкостей.

При фильтрации двухфазной жидкости для каждой фазы в отдельности справедлив закон Дарси. В общем случае при наличии массовых сил фильтрация двухфазной несжимаемой смеси описывается (по числу неизвестных р₁, р₂, Q₁, Q₂, σ) следующей замкнутой системой уравнений:

(5.144)

 

(5.145)

 

 

(5.146)

 

(5.147)

 

(5.148)

 

где σ - насыщенность порового пространства первой (вытесняющей) фазой; р₁ и р₂ - соответственно давления каждой фазы, которые, вообще говоря, не равны друг другу из-за капиллярных эффектов; X - проекция массовых сил, отнесенная к единице массы; р_к(σ) — капиллярное давление; Q₁ и Q₂ - в формуле Лапласа (5.146) - главные радиусы кривизны менисков, контактной поверхности, зависящие, в основном, от насыщенности; σ - поверхностное натяжение. Остальные обозначения прежние.

 

69

На практике капиллярное давление считается известной экспериментальной функцией насыщенности и представляется в виде зависимости безразмерной функции Леверетта

от насыщенности σ порового пространства вытесняющей жидкостью (рис. 89), - статический краевой угол между жидкостями и породой.

Оценки, сделанные М. Маскетом, показывают, что в пласте градиент капиллярного давления обычно мал по сравнению с градиентом гидродинамического давления всюду, кроме зоны фронта вытеснения, где насыщенность и резко изменяется, поэтому имеют место большие значения градиента капиллярного давления (см. рис.5.35), которые необходимо учитывать. Однако из-за исключительной сложности решения задач двухфазной фильтрации оба эти фактора не принимаются во внимание, а капиллярность косвенно учитывается самим видом экспериментальных кривых k1*(σ), k2*(σ), для несцементированных и слабосцементированных песков (рис.5.36); на графиках k1*(σ)= kв*(σ), k2*(σ)= kн*(σ),.

Наиболее разработанной теорией является теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде Баклея - Леверетта.

Рассматривая двухфазную фильтрацию в трубке тока постоянного сечения при отсутствии капиллярного давления и без учета массовых сил и полагая, что суммарная скорость фильтрации является постоянной величиной: w₁+w₂ =w = const, Баклей и Леверетт из системы уравнений (5.144) -(5.148) получили дифференциальное уравнение относительно σ

(5.149)

где т - пористость пласта; f (а) - производная от функции Леверетта:

(5.150)

Уравнение (XIV.6) является квазилинейным дифференциальным уравнением 1-го порядка в частных производных. Решение уравнения (5.149) имеет вид

(5.151)

Где х(σ,0) - координата точки с заданной насыщенностью σ в момент t=0.

Уравнение (5.151) определяет перемещение точки с заданной насыщенностью с течением времени.

Скорость распространения заданной насыщенности σ получим из уравнения (5.154), взяв производную dx/dt,

(5.152)

Функция Леверетта f(σ) и ее производная f’(σ) представлены на рие.5.37. Как видно из графика, одному и тому же значению f(σ), определяющему скорость распространения насыщенности заданной величины, соответствуют дна разных значения насыщенности σ.

Это означает, что, начиная с некоторого момента, распределение насыщенности становится многозначным, а это физически невозможно. Многозначность означает, что в зоне движения двухфазной жидкости имеет место скачок насыщенности (рис.5.38).

Баклей и Леверетт из условия материального баланса получили формулу для определения значения фронтовой насыщенности σф. (насыщенности на скачке):

(5.153)

Очевидно, что фронтовую насыщенность σ_ф можно легко определить графически. Проведя из начала координат касательную к кривой f(σ) (рис.5.39) и опустив перпендикуляр из точки касания на ось а, получим значение фронтовой насыщенности.

Подставив σ_ф в (5.151), можем найти координату скачка насыщенности

Хф.

Чтобы найти среднее значение насыщенности в переходной зоне, разделим объем поступившей вытесняющей жидкости на объем перового пространства переходной зоны, определяемого координатой Хфпри площади поперечного сечения пласта, равной единице.

(5.154)

Среднюю насыщенность σ_ср можно определить графически следующим образом. Если продлить касательную к кривой f(σ) до пересечения с прямой f(σ)=1, то значение σ в точке пересечения и есть средняя насыщенность σ_ср (см. рис.5.39).

Как правило, среднее значение насыщенности порового пространства водой σ_ср значительно меньше единицы. Поэтому, например, в процессах вытеснения нефти водой для более полного извлечения нефти из пласта на объем добытой нефти нужно закачать несколько объемов воды.

 

 

Задача 46

Построить функцию Леверетта f(σ) в случае, если зависимости относительных фазовых проницаемостей нефти k'_н и воды k'_в от насыщенности водой порового пространства σ задаются кривыми Леверетта (см. рис.5.36), отношение

μ0= μн/ μв= 4.

Решение. Задаемся рядом значений σ, для каждого значения а по графику Леверетта (см. рис.5.36) определяем соответствующие k'_н и k'_в, подставляя их в (5.150), подсчитываем f(σ) и строим график f(σ) (см. рис.5.39). Результаты расчетов приведены ниже.

σ,%
k'н	-	-	0,70	0,50	0,34	0,23	0,13	0,06	0,02
k'в				0,01	0,05	0,11	0,21	0,33	0,51	0,72	-
f(σ)				0,074	0,37	0,66	0,87	0,96	0,99

 

Задача 47

Используя полученный в задаче 46 график функции Леверетта (см.рис.5.39), определить значение фронтовой насыщенности σ_ф и средней

 

насыщенности σ_ср порового пространства водой в зоне вытеснения нефти водой.

Решение. Для определения фронтовой насыщенности σфиз начала координат проведем касательную к кривой, выражающей функцию Леверетта (см. рис.5.39). Значение насыщенности в точке касания соответствует фронтовой насыщенности σф =59 %.

Значение средней насыщенности найдем, продолжая касательную к кривой f(σ) до пересечения ее с горизонтальной прямой f(σ)=l. Значение насыщенности в точке пересечения касательной с прямой f(σ)=l определяет значение σ_ср =69 %.

Задача 48

В однородном по толщине, пористости и проницаемости пласте происходит прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой по закону Дарси. Определить положение фронта вытеснения в различные моменты времени, если пористость пласта m=20 %, отношение μ0= μ2/ μ1=2, дебит галереи Q=21,6*10³ м³/сут, ширина фильтрационного потока В=500 м, толщина пласта h=10м. Зависимости относительных проницаемостей нефти и воды от насыщенности норового пространства водой задаются графиками Эфроса, для которых графики функции Леверетта f(σ) и ее производной f(σ) представлены на рис.5.40 и 5.41.

Насыщенность пласта связанной водой составляет σ_св=18 %.

Решение. Определим значение σ_ф, для чего проведем из начала координат касательную к кривой f(σ) (см. рис. 5.40). Как видно из чертежа.

σ_ф =0,84 и соответствующее значение производном f (σ_ф)=1,4 (см. рис.5.41). Суммарная скорость фильтрации

 

 

Задаваясь различными значениями t, подсчитаем по (5.151) координату фронта вытеснения х_ф, учитывая, что в начальный момент времени х (σ_ф,0)=0:

Результаты вычислений приведены ниже.

t,ч
хф, м	1,26	15, 1	30,2	60,4

На рис.5.42 представлено распределение насыщенности для двух моментов времени.