Шестнадцатеричная позиционная система счисления

В шестнадцатеричной позиционной системе счисления для записи произвольных чисел используются шестнадцать цифр, десять из которых от 0 до 9 по изображению совпадают с арабскими цифрами, а для изображения оставшихся шести обычно используют латинские буквы от до . Таким образом, ряд шестнадцатеричных цифр имеет вид 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Основание системы счисления (число шестнадцать) записывается двумя цифрами в виде . Любые числа шестнадцатеричной системы счисления представляются в виде последовательности шестнадцатеричных цифр.

Например, десятеричное число в шестнадцатеричной системе счисления будет записано с точностью до четвертого знака после запятой следующим образом:

(здесь 10 означает число 16) и все операции должны выполняться в шестнадцатеричной системе счисления.

Правильность изображения в шестнадцатеричной системе десятичного числа легко проверить, переписав правую часть равенства в десятеричной системе счисления, помня, что , и произведя в этой системе соответствующие арифметические операции с учетом оговоренной выше точности перевода дробной части. Проделав все это, получим:

Сложение, вычитание, умножение и деление шестнадцатеричных чисел производится по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. При этом, однако, следует пользоваться шестнадцатеричными таблицами сложения-вычитания (табл. 1.6) и умножения (табл. 1.7).

Правила пользования этими таблицами аналогичны правилам пользования соответствующими восьмеричными таблицами.

Примеры:

Сложение Вычитание

A2C, F47 F13, 7F4

+ 8B1, D98 – 3D4, E2F

12DE, CDF B3E, 9C5

Таблица 1.6

Таблица сложения - вычитания шестнадцатеричных чисел

+ –

Таблица 1.7

Таблица умножения шестнадцатеричных чисел

Примеры:

Умножение Деление

A2B, 3B 2F8D, CD:4CE, D3=

3E5, F4 = B4A, 2F.

1 FF9, FC Все операции производятся в

шестнадцатеричной системе счисления

Для наглядности и удобства пользования в дальнейшем сведем в одну таблицу числа, представленные в рассмотренных выше системах счисления в диапазоне от 0 до 20 (табл.18).

Таблица 1.8

Десятичная система	Двоичная система	Восьмеричная система	Шестнадцатеричная система










			A
			B
			C
			D
			E
			F

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Перевод целых чисел

Пусть - целое число, записанное в системе счисления с основанием .

Пусть - основание другой системы счисления, записанное в исходной -ичной системе счисления, причем .

Требуется перевести число из системы счисления с основанием в систему счисления с основанием .

Предположим, что изображение числа в -ичной системе счисления найдено и имеет следующий вид:

, (1.1)

где - цифры -ичной системы, а 10 – основание этой системы, т.е. .

С учетом того, что , а , заменим в правой части равенства (1.1) числа и 10 их -ичными изображениями и . Тогда получим:

. (1.2)

Деля обе части равенства (1.2) на , имеем:

, (1.3)

где представляет собой правильную дробь, поскольку .

Из равенства (1.3) видно, что при делении числа на остаток равен , а частным будет

Если теперь частное разделить на , то получим в остатке , а в новом частном

Выполняя этот процесс деления раз, можно последовательно найти все числа , причем последнее частное будет иметь вид

Из сказанного вытекает следующее общее правило перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую для любых оснований и .

Правило перевода. Путем последовательного деления числа и его частных на получают в виде остатков деления -ичные записи -ичных цифр (начиная с младшей), необходимые для изображения числа в -ичной системе счисления. Последовательное деление производится до тех пор, пока не получится частное, меньшее чем . Это последнее частное является старшей -ичной цифрой числа . Деление выполняется в исходной, т.е. в -ичной системе счисления.

Пример.

Пусть .

Требуется перевести десятичное число в двоичную систему счисления, т.е. найти число .

Операция Частное Остаток

189: 2 = 94 + 1

94: 2 = 47 + 0

47: 2 = 23 + 1

23: 2 = 11 + 1

11: 2 = 5 + 1

5: 2 = 2 + 1

2: 2 = 1 + 0

Таким образом, двоичная запись десятичного числа имеет следующий вид: .

Проверка правильности перевода:

Пример.

Пусть .

Требуется перевести десятичное число в восьмеричную систему счисления, т.е. найти число .

Операция Частное Остаток

189: 8 = 23 + 5

23: 8 = 2 + 7

Таким образом, восьмеричная запись числа имеет следующий вид: .

Проверка правильности перевода:

Перевод правильных дробей

Пусть - правильная дробь, записанная в системе счисления с основанием . Пусть - основание другой системы счисления, записанное в исходной -ичной системе счисления, причем .

Требуется перевести правильную дробь из системы счисления с основанием в систему счисления с основанием , т.е. .

Предположим, что изображение правильной дроби в -ичной системе счисления найдено и имеет следующий вид:

, (1.4)

где -ичные цифры, а 10 - основание системы счисления, т.е. .

Заменяя входящие в правую часть равенства (1.4) числа и 10 их -ичными изображениями и , получим

. (1.5)

Умножая обе части равенства (1.5) на , имеем

. (1.6)

Целая часть числа (1.6) равна , а его дробной частью является

Умножая новую дробь на , получим число, целая часть которого равна , а дробная часть имеет вид

Повторяя описанный процесс умножения нужное количество раз, легко найти одну за другой (в -ичной записи) -ичные цифры, начиная со старшей, необходимые для изображения числа с заданной точностью.

Из сказанного следует общее правило перевода правильных дробей из одной позиционной системы счисления в другую для любых оснований и .

Правило перевода. Путем последовательного умножения числа и дробных частей образующихся произведений на получают в виде целых частей этих произведений -ичные записи -ичных цифр (начиная со старшей), необходимых для изображения правильной дроби в системе счисления с основанием . Умножение выполняется в исходной, т.е. в -ичной системе счисления до тех пор, пока не будет получена заданная точность перевода, либо дробная часть произведения не станет равной нулю.