Побудова проекцій відстаней i кутів між геометричними фігурами

Відстань від точки до прямої. (рис. 39 а та б)

1. Для визначення проекції відстані від точки А до прямої загального положення m (рис. 39, б) через точку проводять площину, яку задано горизонталлю h i фронталлю f., перпендикулярну до прямої m. Знаходять точку перетину прямої з цією площиною

2. Сполучають цю точку з точкою А. Отриманий відрізок — шуканий.

При цьому на полі П₁ горизонтальна проекція горизонталі перпендикулярна до m₁, а на полі П₂ фронтальна проекція фронталi перпендикулярна до m₂.

4. Для визначення точки перетину прямої m з площиною використано січну фронтально проекцiюювальну площину Λ, що проходить через m, яка перетне площину по прямій 1₂2₂. (Рис. 38, б)

Шукану точку В визначають на перетині горизонтальної проекції 1₁2₁ і m₁. Відрізок АВ є проекцією відстані від точки до прямої, що у символічному записі:

Λ₂ ⊂ m₂; 1₂2₂ ≡ m₂; 1₁2₁ ∩ m₁ = В₁

Відстань між паралельними прямими. Якщо на одній із прямих взяти довільну точку, то цю задачу можна звести до попередньої, тобто до визначення відстані від точки до прямої.

Відстань від точки до площини. Для визначення цієї відстані потрібно з точки опустити перпендикуляр до площини i знайти його основу.

На рис. 40 зображено трикутний відсік, сторона АС якого — горизонталь, а сторона АВ — фронталь.

1. З точки D проведено проекції перпендикуляру n: його горизонтальна проекція перпендикулярна до горизонталі на полі П₁, а фронтальна— до фронталi на полі П₂

2. Основу перпендикуляра визначено за допомогою січної горизонтальної проекціюювальною площини Г, яка перетне відсік по прямій 1 — 2.

Основа перпендикуляра є точка Е, а проекція відстані від точки до площини D₁E₁ i D₂E₂, що у символічному записі: : Г₁ ⊃ n₁; 1₁2₁ ≡ n₁; 1₁2₁ ∩ n₂ = Е₂

Відстань від прямої до паралельної їй площині i між паралельними площинами. Обидві ці задачі можна звести до попередньої, якщо на прямій чи площині взяти точку i визначити відстань від неї до площини. Відрізок перпендикуляра й буде шуканою відстанню.

Відстань між мимобіжними прямими. Відомо, що ця відстань дорівнює відстані між їхніми площинами паралелізму. Звідси такий алгоритм. Через одну з прямих проводять площину, паралельну площині паралелізму, для чого через довільну точку однієї прямої проводять пряму, паралельну другій прямій (рис. 410). Якщо на цій прямій взяти довільну точку, то задача зводиться до розглянутої вище задачі на визначення відстані від точки до площини.

Кут між мимобіжними прямими. Такий кут вимарюється кутом перетину, для чого через довільну точку однієї з мимобіжних прямих проводять пряму, паралельну другий прямій.

Кут між прямою i площиною. Як відомо з елементарної геометрії, кут між прямою i площиною вимарюється кутом між прямою та її прямокутною проекцією на цю площину. Отже, щоб побудувати такий кут, через пряму проводять площину, перпендикулярну до цієї площини. Лiнiя перетину їх i буде проекцією прямої на цю площину. Оскільки отриманий при цьому трикутник АВС (рис. 42, а) — прямокутний, то сума кутів при вершинах А i В завжди дорівнює 90⁰. Звідси можна простішим способом визначити кут (рис. 42, 6) між прямою та площиною: досить з точки, що належить прямій 1, опустити перпендикуляр на площину (рис. 42, 6). Утворений при цьому кут доповнює шуканий до прямого кута, що у

символічному записі: А ⊂1; n ⊃А; n₂ ⊥ f₂; n₁ ⊥ h₁

Кут між двома площинами.

Для визначення двогранного кута знаходять лiнiю перетину двох площин (ребро двогранного кута). Перпендикулярно до цього ребра проводять площину, яка перетне двогранний кут по шуканому лінійному куту.

Може бути простіший шлях: досить взяти до уваги, що кут між площинами дорівнює куту між перпендикулярами до них, проведеними з довільної точки простору.

На рис. 43 зображено дві площини — Ф та Ψ

Для визначення двогранного кута в просторі взято довільну точку A i з неї опущено перпендикуляри на обидві площини, що у символічному записі:

n ⊃ A; n₂⊥B₂C₂; n₁⊥A₁C₁; m⊃A;m₂⊥D₂E₂; m₁⊥D₁F₁