Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R ( 1 +i) n-1,так как на сумму R проценты начислялись в течение (n-1) года. Второй взнос увеличится до R (1 +i) n-2 и т.д.
На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии: S =R+R (1 +i) +R (1 +i) 2+…+R (1 +i) n-1,
в которой первый член равен R, знаменатель (1 +i), число членов п.
Отсюда:
S = R 
= R 
= R sn ; i , (23)
где 
- коэффициент наращения ренты. Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i.
Пример 13. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
R = 10 000 000 руб.,
i = 0,10.
Найти S =?
Решение.
1-й вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств производится по формуле (23):
S= 10 000 000*[(1+ 0,1)3 - 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб.
2-й вариант. Для выполнения расчетов в Excel по формулам, дополнительно воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ, рис. 22.
Рис. 22. Результаты расчета наращенной суммы S (в ячейку H3 введена формула: =B3*(СТЕПЕНЬ(1+B4;B2) -1)/B4))
3-й вариант. Для расчетов наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории Финансовые). Данная функция возвращает, будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставке, рис. 27.
Рис. 23. Результаты расчета наращенной суммы S по функции БС (в ячейку H4 введена формула: =БС(B4;B2;-B3))
Синтаксис функции БС рассмотрен ранее (см. п.2.1. Сложные проценты).
Пример 14. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые ежеквартально (m = 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
m = 4,
R = 10 000 000 руб.,
j = 0,10.
Найти S =?
Решение
1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (24):
S = 10 000 000*[(1+0,1/4) (4*3) - 1] / [(1+0,1/4) 4 - 1] = 33 222 157,88руб.
2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в Excel дополнительно используем математическую функцию СТЕПЕНЬ, рис. 24.
Рис. 24. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3)-1))
3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствует готовая финансовая функция для решения данной задачи.
Пример 15. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые в конце каждого года начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
m = 1,
R = 10 000 000 руб.,
p = 4,
i = 0,10.
Найти S =?
Решение
1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств проведем по формуле (1.25):
S = (10 000 000/4) * [(1+0,1) 3 - 1]/ [(1+0,1) 1/4 - 1] =34 316 607,35 руб.
2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel используем математическую функцию СТЕПЕНЬ, рис. 25.
Рис. 25. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6;B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6;1/B5)-1))
3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствуют готовые финансовые функции для решения подобных задач.
Пример 16. В течение 3-x лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
p = m = 4,
R = 10 000 000 руб.,
j = 0,10.
Найти S =?
Решение
1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (26):
S = 10 000 000*[(1+0,1/4) (4*3) - 1] / 0,1 = 34 488 882,42 руб.
2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в Excel воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ, рис. 30.
Рис. 26. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2)-1)/B5))
3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Для расчета наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории Финансовые). Данная функция возвращает, будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставке, рис. 27.
Рис. 27. Результаты расчета наращенной суммы S (в ячейку H5 введена формула: =БС(B5/B3;B2*B3;-B4/B3))
Рента р - срочная, с произвольным поступлением платежей p ≥ 1, и произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай). Это самый общий случай р -срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно, р ≠ т.
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1 /р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
= 
.
Второй член ренты к концу срока возрастет до
= 
,
и т.д.
Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p,число членов пт.
Для данного случая наращенная сумма рассчитывается по формуле:
S = 
= 
. (27)
Из последней формулы легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения р и т.
Пример 17. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р= 4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m= 12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно:
n = 3 года,
m = 12,
R = 10 000 000 руб.,
p = 4,
j = 0,10.
Найти S =?
Решение.
1-й вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. По формуле (1.27) находим:
S = (10 000 000/4)*[(1+0,10/4)(3*12) -1] / [(1+0,10/4)(12/4) -1] =
= 34 529 637,96 руб.
2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в строку формул вводим формулу соответствующую (27) и для вычисления степени используем функцию СТЕПЕНЬ, рис. 28.
Рис. 28. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3*B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3/B5)-1))
3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствуют готовые финансовые функции для решения подобных задач.
