Наращенные суммы для финансовых рент

Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R ( 1 +i) ⁿ^-¹,так как на сумму R проценты начислялись в течение (n-1) года. Второй взнос увеличится до R (1 +i) ⁿ^-2 и т.д.

На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии: S =R+R (1 +i) +R (1 +i) ²+…+R (1 +i) ⁿ^-1,

в которой первый член равен R, знаменатель (1 +i), число членов п.

Отсюда:

S = R = R = R s_n _; _i _,(23)

где - коэффициент наращения ренты. Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i.

Пример 13. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

R = 10 000 000 руб.,

i = 0,10.

Найти S =?

Решение.

1-й вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств производится по формуле (23):

S= 10 000 000*[(1+ 0,1)³ - 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб.

2-й вариант. Для выполнения расчетов в Excel по формулам, дополнительно воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ, рис. 22.

Рис. 22. Результаты расчета наращенной суммы S (в ячейку H3 введена формула: =B3*(СТЕПЕНЬ(1+B4;B2) -1)/B4))

3-й вариант. Для расчетов наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории Финансовые). Данная функция возвращает, будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставке, рис. 27.

Рис. 23. Результаты расчета наращенной суммы S по функции БС (в ячейку H4 введена формула: =БС(B4;B2;-B3))

Синтаксис функции БС рассмотрен ранее (см. п.2.1. Сложные проценты).

Пример 14. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые ежеквартально (m = 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

m = 4,

R = 10 000 000 руб.,

j = 0,10.

Найти S =?

Решение

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (24):

S = 10 000 000*[(1+0,1/4) ^(4*3) - 1] / [(1+0,1/4) ⁴ - 1] = 33 222 157,88руб.

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в Excel дополнительно используем математическую функцию СТЕПЕНЬ, рис. 24.

Рис. 24. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3)-1))

3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствует готовая финансовая функция для решения данной задачи.

Пример 15. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые в конце каждого года начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

m = 1,

R = 10 000 000 руб.,

p = 4,

i = 0,10.

Найти S =?

Решение

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств проведем по формуле (1.25):

S = (10 000 000/4) * [(1+0,1) ³ - 1]/ [(1+0,1) ^1/4- 1] =34 316 607,35 руб.

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel используем математическую функцию СТЕПЕНЬ, рис. 25.

Рис. 25. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6;B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6;1/B5)-1))

3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствуют готовые финансовые функции для решения подобных задач.

Пример 16. В течение 3-x лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

p = m = 4,

R = 10 000 000 руб.,

j = 0,10.

Найти S =?

Решение

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (26):

S = 10 000 000*[(1+0,1/4) ^(4*3) - 1] / 0,1 = 34 488 882,42 руб.

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в Excel воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ, рис. 30.

Рис. 26. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2)-1)/B5))

3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Для расчета наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории Финансовые). Данная функция возвращает, будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставке, рис. 27.

Рис. 27. Результаты расчета наращенной суммы S (в ячейку H5 введена формула: =БС(B5/B3;B2*B3;-B4/B3))

Рента р - срочная, с произвольным поступлением платежей p ≥ 1, и произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай). Это самый общий случай р -срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно, р ≠ т.

Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1 /р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

= .

Второй член ренты к концу срока возрастет до

= ,

и т.д.

Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)^m^/^p,число членов пт.

Для данного случая наращенная сумма рассчитывается по формуле:

S = = . (27)

Из последней формулы легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения р и т.

Пример 17. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р= 4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m= 12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

m = 12,

R = 10 000 000 руб.,

p = 4,

j = 0,10.

Найти S =?

Решение.

1-й вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. По формуле (1.27) находим:

S = (10 000 000/4)*[(1+0,10/4)^(3*12)-1] / [(1+0,10/4)^(12/4)-1] =

= 34 529 637,96 руб.

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в строку формул вводим формулу соответствующую (27) и для вычисления степени используем функцию СТЕПЕНЬ, рис. 28.

Рис. 28. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3*B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3/B5)-1))

3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствуют готовые финансовые функции для решения подобных задач.