Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем формулу S = P( 1 + i)ⁿ для наращения по сложной ставке с начислением процентов один раз в год и перепишем ее относительно Р:

P = S/( 1 + i) ⁿ = Sν ⁿ , (17)

где дробь ν ⁿ = 1 /( 1 + i) ⁿ (18)

является учетным, или дисконтным множителем.

 

Пример 11. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1 000 000 руб. Определить его современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов в 14% годовых.

Известно:

n = 5 лет,

S = 1 000 000 руб.,

i = 0,14 или 14%.

Найти P =?

Решение.

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств выполним по формуле (17):

P = S/( 1 + i) ⁿ = 1 000 000/(1+0,14) ⁵ = 519 368,66 руб.

2-й вариант. Для выполнения расчетов в Excel по формулам воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ. На рис. 19 приведены два варианта использования данной функции.

а)

 

б)

Рис. 19. Результаты расчета современной стоимости в среде Excel. В ячейку H3 введена формула: вариант а) =B3/СТЕПЕНЬ(1+B4;B2); вариант б) =B3*СТЕПЕНЬ(1+B4;-B2)

 

3-й вариант. Для выполнения расчетов по встроенным в Excel функциям воспользуемся финансовой функцией ПС, рис. 20. Данная функция возвращает приведенную стоимость инвестиции при условии периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставки.

а)

б)

Рис. 20. Результаты расчета современной стоимости (рис. а) и вид диалогового окна ПС с введенными данными (рис. б). В ячейку H3 введена формула =ПС(B4; B2; 0; -B3; 1)

 

Синтаксис функции ПС (ставка;кпер;плт;бс;тип). Аргументы функции:

ставка – значение процентной ставки за один период,

кпер – количество периодов начисления,

плт – величина платежа (можно опускать, когда аргумент принимает нулевое значение),

бс – необязательный аргумент, задает будущую стоимость или остаток средств после последней выплаты;

тип – необязательный аргумент (принимает значения 0, когда выплаты производятся в конце периода, 1- в начале периода).

 

При начислении процентов т раз в году, используется формула:

P = S / (1 + j / m) ^nm = Sν ^nm , (19)

где ν ^nm = 1/(1 + j / m) ^nm (20)

 

(дисконтный множитель).

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют совре­менной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.

Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S че­рез п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.

 

Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной став­ке осуществляется по формуле:

Р = S (1- d_сл ) ⁿ (21)

где d_cл1 - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае будет равен:

D = S – P = S – S (1- d_сл) ⁿ = S [1 – (1 - d_сл) ⁿ ] (22)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконти­рования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учет­ная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за преды­дущий период на величину дисконта.

Пример 12. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сум­ма 1 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке в 10% годовых. Определить сумму, которую получит векселедержатель и дисконт, который получит банк по истечении срока векселя.

Известно:

n = 5 лет,

S = 1 000 000 руб.,

i = 0,14 или 14%.

Найти P =?, D =?

Решение.

1-й вариант. Вычисления по формулам (21 и 22) с помощью подручных вычислительных средств.

Расчет сумы, которую получит векселедержатель по формуле (21)

Р = S (1- d_сл ) ⁿ = 1 000 000 * (1 - 0,10) ⁵ = 590 490,00 руб.;

Расчет дисконта, который получит банк, произведем по формуле (22)

D = S - Р = 1 000 000 - 590 490 = 409 510 руб.

2-й вариант. Расчеты в Excelпо формулам (21 и 22) с использованием математической функции СТЕПЕНЬ, рис. 21.

Рис. 21. Результаты расчета значений P и D в среде Excel. В ячейку H3 введена формула =B3*СТЕПЕНЬ(1-B4; B2)

3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Готовые финансовые функции для решения подобных задач в Excel не найдены.

 

Потоки платежей