Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем формулу S = P( 1 + i)n для наращения по сложной ставке с начислением процентов один раз в год и перепишем ее относительно Р:
P = S/( 1 + i) n = Sν n , (17)
где дробь ν n = 1 /( 1 + i) n (18)
является учетным, или дисконтным множителем.
Пример 11. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1 000 000 руб. Определить его современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов в 14% годовых.
Известно:
n = 5 лет,
S = 1 000 000 руб.,
i = 0,14 или 14%.
Найти P =?
Решение.
1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств выполним по формуле (17):
P = S/( 1 + i) n = 1 000 000/(1+0,14) 5 = 519 368,66 руб.
2-й вариант. Для выполнения расчетов в Excel по формулам воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ. На рис. 19 приведены два варианта использования данной функции.
а)
б)
Рис. 19. Результаты расчета современной стоимости в среде Excel. В ячейку H3 введена формула: вариант а) =B3/СТЕПЕНЬ(1+B4;B2); вариант б) =B3*СТЕПЕНЬ(1+B4;-B2)
3-й вариант. Для выполнения расчетов по встроенным в Excel функциям воспользуемся финансовой функцией ПС, рис. 20. Данная функция возвращает приведенную стоимость инвестиции при условии периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставки.
а)
б)
Рис. 20. Результаты расчета современной стоимости (рис. а) и вид диалогового окна ПС с введенными данными (рис. б). В ячейку H3 введена формула =ПС(B4; B2; 0; -B3; 1)
Синтаксис функции ПС (ставка;кпер;плт;бс;тип). Аргументы функции:
ставка – значение процентной ставки за один период,
кпер – количество периодов начисления,
плт – величина платежа (можно опускать, когда аргумент принимает нулевое значение),
бс – необязательный аргумент, задает будущую стоимость или остаток средств после последней выплаты;
тип – необязательный аргумент (принимает значения 0, когда выплаты производятся в конце периода, 1- в начале периода).
При начислении процентов т раз в году, используется формула:
P = S / (1 + j / m) nm = Sν nm , (19)
где ν nm = 1/(1 + j / m) nm (20)
(дисконтный множитель).
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.
Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.
Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
Р = S (1- dсл ) n (21)
где dcл1 - сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае будет равен:
D = S – P = S – S (1- dсл) n = S [1 – (1 - dсл) n ] (22)
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Пример 12. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 1 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке в 10% годовых. Определить сумму, которую получит векселедержатель и дисконт, который получит банк по истечении срока векселя.
Известно:
n = 5 лет,
S = 1 000 000 руб.,
i = 0,14 или 14%.
Найти P =?, D =?
Решение.
1-й вариант. Вычисления по формулам (21 и 22) с помощью подручных вычислительных средств.
Расчет сумы, которую получит векселедержатель по формуле (21)
Р = S (1- dсл ) n = 1 000 000 * (1 - 0,10) 5 = 590 490,00 руб.;
Расчет дисконта, который получит банк, произведем по формуле (22)
D = S - Р = 1 000 000 - 590 490 = 409 510 руб.
2-й вариант. Расчеты в Excelпо формулам (21 и 22) с использованием математической функции СТЕПЕНЬ, рис. 21.
Рис. 21. Результаты расчета значений P и D в среде Excel. В ячейку H3 введена формула =B3*СТЕПЕНЬ(1-B4; B2)
3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Готовые финансовые функции для решения подобных задач в Excel не найдены.
Потоки платежей
