Рассмотрим основные свойства электромагнитных волн.
1. Из выражений (6.1.12) видно, что переменное электромагнит-ное поле распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны. Фазовая скорость волны равна:
| υ = | . | (6.2.1) | ||||
| μμ 0 εε0 | ||||||
| Если электромагнитная волна распространяется в вакууме (ε 1, | ||||||
| μ = 1), то получаем: | = | |||||
| c = | , | (6.2.2) | ||||
| μ0 ε0 | ||||||
где с = 3⋅108 м/с – скорость света в вакууме.
С учетом выражения (6.2.2) фазовая скорость электромагнитной волны равна:
| υ = | c | = | c | , | (6.2.3) | |
| με | n | |||||
где n = εμ – абсолютный показатель преломления среды.
2. Из уравнений Максвелла вытекает вывод о том, что электро-
магнитная волна является поперечной.
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяю-щуюся вдоль оси О х. Тогда E и H, а также их компоненты по коор-динатным осям не будут зависеть от координат у и z. Поэтому уравне-ния (6.1.2−6.1.5) упрощаются следующим образом:
| dH x | |||||||||
| 0 =μμ0 | |||||||||
| dt | |||||||||
| ∂ E | dH y | ||||||||
| z | =μμ0 | ||||||||
| ∂ x | dt | ||||||||
| ∂ Ey | = −μμ0 | dH | z | ||||||
| ∂ x | dt | ||||||||
∂∂ Exx = 0
(6.2.4)
(6.2.6)
| dEx | ||||||||
| 0 =εε0 | ||||||||
| dt | ||||||||
| dEy | ||||||||
| ∂ H | ||||||||
| z | = −εε0 | |||||||
| ∂ x | dt | |||||||
| ∂ H y | dE | z | ||||||
| =εε0 | ||||||||
| ∂ x | dt | |||||||
∂∂ Hxx = 0
(6.2.5)
(6.2.7)
Уравнения (6.2.6 – 6.2.7) и первые из уравнений систем (6.2.4 – 6.2.5) показывают, что Ех и Нх не зависят от координаты х и времени t. Сле-довательно, отличные от нуля Ех и Нх могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на электро-магнитное поле волны. Таким образом, электромагнитное поле волны не имеет составляющих вдоль оси О х. Отсюда вытекает, что векторы E и H перпендикулярны к направлению распространения волны(век-тору υ), т. е. что электромагнитные волны поперечны (рис. 6.2.1).
y υ
E
x
H
z
Рис. 6.2.1
3. Из уравнений Максвелла вытекает вывод о том, что векторы E
и H электромагнитной волны всегда взаимно перпендикулярны.Рас-смотрим следующие уравнения из систем (6.2.4−6.2.5):
| ∂ H | z | = −εε | dEy | (6.2.8) | |||||||||||||||||
| ∂ x | dt | ||||||||||||||||||||
| ∂ Ey | = −μμ0 | dHz | (6.2.9) | ||||||||||||||||||
| ∂ x | dt | ||||||||||||||||||||
| ∂ E | z | =μμ | dH y | (6.2.10) | |||||||||||||||||
| dt | |||||||||||||||||||||
| ∂ x | |||||||||||||||||||||
| ∂ H y | =εε0 | dEz | (6.2.11) | ||||||||||||||||||
| ∂ x | dt | ||||||||||||||||||||
Уравнения (6.2.8−67.2.9) связывают компоненты Ey и Нz, а урав-нения (6.2.10−6.2.11) − компоненты Ez и Ну. Допустим, что первона-чально было создано переменное электрическое поле Еу, направленное вдоль оси О у. Согласно уравнению (6.2.8) это поле создает магнитное поле Нz, направленное вдоль оси О z. В соответствии с уравнением (6.2.9) магнитное поле Нz, создаст электрическое поле Еу и т. д. Со-ставляющие электрического Ez и магнитного Ну полей при этом не возникают. Аналогично, если первоначально появится магнитное поле Ну,то оно возбудит электрическое поле Ez и т.д.В этом случае невозникают составляющие полей Еу и Нz. Из уравнений (6.2.8−6.2.11)
видно, что в любом случае вектора E и H электромагнитной волны всегда взаимно перпендикулярны (рис. 6.2.1).
4. Колебания векторов E и H в волне происходят с одинаковой фазой,а амплитуды колебаний этих векторов связаны соотношением:
| εε 0 Em = μμ0 Hm. | (6.2.12) |
Докажем это. Возьмем для описания волны уравнения (6.2.8−6.2.9), положив Еz = Ну = 0.
Продифференцируем первое уравнение (6.2.8) по х:
∂2 H z ∂ x 2
⇒ ∂2 H z
∂ x 2
| = −εε 0 | d | dE y | ⇒ | ∂ | 2 H | z | = −εε 0 | d dEy | ⇒ | ||||||||||||||||||||
| ∂ x 2 | |||||||||||||||||||||||||||||
| dx | dt | dx | |||||||||||||||||||||||||||
| dt | |||||||||||||||||||||||||||||
| = −εε | d | −μμ | dH | z | ⇒ | ∂ 2 H | z =εε μμ | d 2 H | z | ⇒ | (6.2.13) | ||||||||||||||||||
| dt | dt | ∂ x | dt | ||||||||||||||||||||||||||
| ⇒ | d 2 H | z | − | υ | ∂2 H | z = | 0. | ||||||||||||||||||||||
| dt 2 | ∂ x 2 | ||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично продифференцировав уравнение (6.2.9) по х, получим:
| d 2 E | y | − υ2 | ∂2 E | y | = 0. | (6.2.14) | |
| dt 2 | ∂ x 2 | ||||||
Полученные уравнения (6.2.13−6.2.14) являются частным случаем уравнений (6.1.12).
Простейшими решениями уравнений (6.2.13−6.2.14) являются функции вида:
| Ey = Em cos(ω t − kx +α1), | (6.2.15) |
| H z = H m cos(ω t − kx +α2), | (6.2.16) |
где k = ω υ − волновое число, α1, α2 − начальные фазы колебаний элек-
трической и магнитной составляющей волны.
Выражения (6.2.15−6.2.16) называют уравнениями плоской моно-хроматической электромагнитной волны. В векторном виде уравне-
| ния плоской электромагнитной волны имеют вид: | ||||||||||||||
| E | = Em cos (ω t − kx +α1), | (6.2.17) | ||||||||||||
| H | = H m cos (ω t − kx + α2). | (6.2.18) | ||||||||||||
| Если подставить выражения (6.2.15−6.2.16) в (6.2.8), то получится: | ||||||||||||||
| − kHm sin (ω t − kx +α 2) = −εε 0 ω Em sin (ω t − kx +α1). | (6.2.19) | |||||||||||||
| Если подставить выражения (6.2.15−6.2.16) в (6.2.9), то получится: | ||||||||||||||
| − kE sin (ω t − kx +α) = −μμ | ω H | m | sin (ω t − kx +α | ). | (6.2.20) | |||||||||
| m | ||||||||||||||
| Чтобы равенства (6.2.19−6.2.20) выполнялись, необходимо вы- | ||||||||||||||
| полнение следующих условий: | ||||||||||||||
| α1 = α2, | (6.2.21) | |||||||||||||
| kH | m | =εε | ω E | m | E 2 m | =μμ0 H 2 m. | (6.2.22) | |||||||
| ⇒ εε 0 | ||||||||||||||
| kE m =μμ0ω Hm |
Таким образом получается еще одно свойство электромагнит-ной волны.
6.3. Энергия электромагнитной волны. Вектор Умова −
Пойнтинга.
Электромагнитные волны переносят энергию. Поток волновой энергии или энергетический поток (энергия,переносимая волной вединицу времени через некоторую площадку) равен:
| Фэ = dW. | (6.3.1) |
| dt |
Плотность потока волновой энергии (энергия,переносимая вол-
ной в единицу времени через единичную площадку, перпендикуляр-ную направлению переноса энергии) равна:
| S = | Ф | = | W | = wυ | (6.3.2) | ||||
| = υ | |||||||||
| или | S | ||||||||
| S ⊥ | S ⊥ | t | w, | ||||||
где w − объемная плотность энергии волны; S − вектор плотности по-тока волновой энергии.
Плотность энергии электромагнитного поля w состоит из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля:
| w = w + w = | 1 εε | E 2+ | 1 μμ | H 2, | (6.3.3) | |||
| em | ||||||||
где we – плотность энергии электрического поля волны; wm – плот-ность энергии магнитного поля волны.
В данной точке пространства векторы E и H изменяются в оди-наковой фазе. Поэтому соотношение (6.2.22) между амплитудными
значениями E и H справедливо и для их мгновенных значений:
| εε 0 E 2 =μμ0 H 2. | (6.3.4) |
Отсюда следует, что плотности энергии электрического и магнит-ного полей волны каждый момент времени одинаковы:
| εε | E 2 | =μμ | H 2 | ⇒ | 1 εε | E 2= | 1 μμ | H 2⇒ w = w. | (6.3.5) | |||
| m | m | em | ||||||||||
Поэтому выражение (6.3.3) можно написать в виде:
| w =2 w =εε | E 2. | (6.3.6) | |||||
| e | |||||||
| Из выражения (6.3.4) выразим напряженность Е электрического | |||||||
| поля волны: | |||||||
| E = | μμ0 | H | |||||
| εε0 | (6.3.7) | ||||||
| и подставим в (6.3.6): | |||||||
| w = εε0μμ0 EH = | 1 EH, | (6.3.8) | |||||
| υ |
| где υ = | − фазовая скорость электромагнитной волны. Под- | ||
| εε 0μμ0 |
ставим выражение (6.3.8) в (6.3.6) и получим модуль вектора плотно-сти потока S энергии электромагнитной волны:
| Векторы E и H | S = EH. | (6.3.9) | |
| взаимно перпендикулярны и образуют с направ- |
лением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому на-
правление вектора E × H совпадает с направлением переноса энергии (направлением вектора фазовой скорости), а модуль этого вектора ра-
| вен ЕН. Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной | |
| энергии можно представить как векторное произведение E | и H: |
| S = E × H. | (6.3.10) |
| Вектор S называется вектором Умова − Пойнтинга. |
