Основные свойства электромагнитной волны. Уравнение электромагнитной волны. Фазовая скорость. Монохроматиче-ские волны

 

Рассмотрим основные свойства электромагнитных волн.

 

1. Из выражений (6.1.12) видно, что переменное электромагнит-ное поле распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны. Фазовая скорость волны равна:

 

υ =				.	(6.2.1)
	μμ 0 εε0
Если электромагнитная волна распространяется в вакууме (ε 1,
μ = 1), то получаем:				=
c =		,		(6.2.2)
μ0 ε0

где с = 3⋅10⁸ м/с – скорость света в вакууме.

 

С учетом выражения (6.2.2) фазовая скорость электромагнитной волны равна:

 

υ =	c	=	c	,	(6.2.3)
με	n

где n = εμ – абсолютный показатель преломления среды.

 

2. Из уравнений Максвелла вытекает вывод о том, что электро-

 

магнитная волна является поперечной.

 

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяю-щуюся вдоль оси О х. Тогда E и H, а также их компоненты по коор-динатным осям не будут зависеть от координат у и z. Поэтому уравне-ния (6.1.2−6.1.5) упрощаются следующим образом:

 

				dH x
0 =μμ0
dt
∂ E				dH y
	z	=μμ0
	∂ x				dt
	∂ Ey	= −μμ0		dH	z
∂ x		dt

 

^∂_∂ ^E_x^x = 0

 

 

(6.2.4)

 

 

(6.2.6)

 

 

				dEx
0 =εε0
dt
					dEy
∂ H
	z	= −εε0
∂ x		dt
	∂ H y		dE	z
			=εε0
∂ x	dt

 

^∂_∂ ^H_x^x = 0

 

 

(6.2.5)

 

 

(6.2.7)

 

Уравнения (6.2.6 – 6.2.7) и первые из уравнений систем (6.2.4 – 6.2.5) показывают, что Е_х и Н_х не зависят от координаты х и времени t. Сле-довательно, отличные от нуля Е_х и Н_х могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на электро-магнитное поле волны. Таким образом, электромагнитное поле волны не имеет составляющих вдоль оси О х. Отсюда вытекает, что векторы E и H перпендикулярны к направлению распространения волны(век-тору υ), т. е. что электромагнитные волны поперечны (рис. 6.2.1).

 

y υ

E

 

 

x

 

H

 

 

z

 

Рис. 6.2.1

 

3. Из уравнений Максвелла вытекает вывод о том, что векторы E

 

и H электромагнитной волны всегда взаимно перпендикулярны.Рас-смотрим следующие уравнения из систем (6.2.4−6.2.5):

 

∂ H

z

= −εε

dEy

(6.2.8)

∂ x

dt

∂ Ey

= −μμ0

dHz

(6.2.9)

∂ x

dt

∂ E

z

=μμ

dH y

(6.2.10)

dt

∂ x

∂ H y

=εε0

dEz

(6.2.11)

∂ x

dt

Уравнения (6.2.8−67.2.9) связывают компоненты E_y и Н_z, а урав-нения (6.2.10−6.2.11) − компоненты E_z и Н_у. Допустим, что первона-чально было создано переменное электрическое поле Е_у, направленное вдоль оси О у. Согласно уравнению (6.2.8) это поле создает магнитное поле Н_z, направленное вдоль оси О z. В соответствии с уравнением (6.2.9) магнитное поле Н_z, создаст электрическое поле Е_у и т. д. Со-ставляющие электрического E_z и магнитного Н_у полей при этом не возникают. Аналогично, если первоначально появится магнитное поле Н_у,то оно возбудит электрическое поле E_z и т.д.В этом случае невозникают составляющие полей Е_у и Н_z. Из уравнений (6.2.8−6.2.11)

 

видно, что в любом случае вектора E и H электромагнитной волны всегда взаимно перпендикулярны (рис. 6.2.1).

 

4. Колебания векторов E и H в волне происходят с одинаковой фазой,а амплитуды колебаний этих векторов связаны соотношением:

 

εε 0 Em = μμ0 Hm.

(6.2.12)

Докажем это. Возьмем для описания волны уравнения (6.2.8−6.2.9), положив Е_z = Н_у = 0.

 

Продифференцируем первое уравнение (6.2.8) по х:

 

∂² H _z ∂ x ²

_⇒ ∂² H _z

 

∂ x ²

 

= −εε 0

d

dE y

⇒

∂

2 H

z

= −εε 0

d dEy

⇒

∂ x 2

dx

dt

dx

dt

= −εε

d

−μμ

dH

z

⇒

∂ 2 H

z =εε μμ

d 2 H

z

⇒

(6.2.13)

dt

dt

∂ x

dt

⇒

d 2 H

z

−

υ

∂2 H

z =

0.

dt 2

∂ x 2

Аналогично продифференцировав уравнение (6.2.9) по х, получим:

 

d 2 E	y	− υ2	∂2 E	y	= 0.	(6.2.14)
dt 2		∂ x 2

Полученные уравнения (6.2.13−6.2.14) являются частным случаем уравнений (6.1.12).

 

Простейшими решениями уравнений (6.2.13−6.2.14) являются функции вида:

Ey = Em cos(ω t − kx +α1),	(6.2.15)
H z = H m cos(ω t − kx +α2),	(6.2.16)

где _{k =} ^ω _υ − волновое число, α₁, α₂ − начальные фазы колебаний элек-

 

трической и магнитной составляющей волны.

Выражения (6.2.15−6.2.16) называют уравнениями плоской моно-хроматической электромагнитной волны. В векторном виде уравне-

ния плоской электромагнитной волны имеют вид:

E

= Em cos (ω t − kx +α1),

(6.2.17)

H

= H m cos (ω t − kx + α2).

(6.2.18)

Если подставить выражения (6.2.15−6.2.16) в (6.2.8), то получится:

− kHm sin (ω t − kx +α 2) = −εε 0 ω Em sin (ω t − kx +α1).

(6.2.19)

Если подставить выражения (6.2.15−6.2.16) в (6.2.9), то получится:

− kE sin (ω t − kx +α) = −μμ

ω H

m

sin (ω t − kx +α

).

(6.2.20)

m

Чтобы равенства (6.2.19−6.2.20) выполнялись, необходимо вы-

полнение следующих условий:

α1 = α2,

(6.2.21)

kH

m

=εε

ω E

m

E 2 m

=μμ0 H 2 m.

(6.2.22)

⇒ εε 0

kE m =μμ0ω Hm

Таким образом получается еще одно свойство электромагнит-ной волны.

 

6.3. Энергия электромагнитной волны. Вектор Умова −

 

Пойнтинга.

Электромагнитные волны переносят энергию. Поток волновой энергии или энергетический поток (энергия,переносимая волной вединицу времени через некоторую площадку) равен:

 

Фэ = dW.	(6.3.1)
dt

 

Плотность потока волновой энергии (энергия,переносимая вол-

 

ной в единицу времени через единичную площадку, перпендикуляр-ную направлению переноса энергии) равна:

 

S =	Ф	=	W		= wυ			(6.3.2)
				= υ
					или	S
	S ⊥		S ⊥	t		w,

где w − объемная плотность энергии волны; S − вектор плотности по-тока волновой энергии.

 

Плотность энергии электромагнитного поля w состоит из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля:

w = w + w =	1 εε	E 2+	1 μμ	H 2,	(6.3.3)
em

где w_e – плотность энергии электрического поля волны; w_m – плот-ность энергии магнитного поля волны.

 

В данной точке пространства векторы E и H изменяются в оди-наковой фазе. Поэтому соотношение (6.2.22) между амплитудными

значениями E и H справедливо и для их мгновенных значений:

 

εε 0 E 2 =μμ0 H 2.

(6.3.4)

 

Отсюда следует, что плотности энергии электрического и магнит-ного полей волны каждый момент времени одинаковы:

εε

E 2

=μμ

H 2

⇒

1 εε

E 2=

1 μμ

H 2⇒ w = w.

(6.3.5)

m

m

em

Поэтому выражение (6.3.3) можно написать в виде:

 

w =2 w =εε	E 2.	(6.3.6)
	e
Из выражения (6.3.4) выразим напряженность Е электрического
поля волны:
E =		μμ0	H
		εε0			(6.3.7)
и подставим в (6.3.6):
w = εε0μμ0 EH =	1 EH,	(6.3.8)
					υ

 

где υ =		− фазовая скорость электромагнитной волны. Под-
εε 0μμ0

ставим выражение (6.3.8) в (6.3.6) и получим модуль вектора плотно-сти потока S энергии электромагнитной волны:

 

Векторы E и H	S = EH.	(6.3.9)
взаимно перпендикулярны и образуют с направ-

лением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому на-

 

правление вектора E × H совпадает с направлением переноса энергии (направлением вектора фазовой скорости), а модуль этого вектора ра-

вен ЕН. Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной
энергии можно представить как векторное произведение E	и H:
S = E × H.	(6.3.10)
Вектор S называется вектором Умова − Пойнтинга.