Основы теории Максвелла для электромагнитного поля. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме

 

В соответствии с законом Фарадея − Ленца, э. д.с. индукции, воз-буждаемая в неподвижном замкнутом проводящем контуре, определя-ется формулой:

ε = − d Ф m.

(5.1.1)

ⁱ dt

 

Тем самым было выяснено, что переменное магнитное поле соз-дает в проводящем замкнутом контуре вихревое электрическое поле. Согласно определению, э.д.с. равна циркуляции вектора напряженно-сти электрического поля:

ε = ∫ Edl.	(5.1.2)
L

 

Обобщенный таким образом закон Фарадея − Ленца имеет вид:

 

∫			d Ф	m	.	(5.1.3)
Edl	= −
dt
L

 

Формула (5.1.3) получила название первое уравнение Максвелла в интегральной форме:циркуляция вектора напряженности электри-ческого поля по произвольному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока сквозь по-верхность, ограниченную контуром. Из этого уравнения следует, что пе-ременное магнитное поле создает в пространстве вихревое электриче-ское поле независимо от того, находится в этом поле проводник или нет.

 

Явление возникновения в пространстве вихревого электрического поля под влиянием переменного магнитного поля было использовано для создания индукционного ускорителя электронов − бетатрона

 

(рис. 5.1.1). Идея этого метода ускорения электронов высказана в 1928 г. норвежским физиком Рольфом Видероэ. В дальнейшем она была разра-ботана русским физиком Яковом Петровичем Терлецким. Первый бе-татрон был построен в 1940 г. в США Дональдом Вильямом Керстом.

 

_K ЭM

 

B

 

 

E

 

Рис. 5.1.1

 

Основной частью бетатрона является мощный электромагнит ЭМ с коническими полюсными наконечниками. Между наконечниками расположена ускорительная камера К, имеющая форму тора и отка-чанная до высокого вакуума. Обмотка электромагнита питается пере-менным током. Изменение силы тока в обмотке электромагнита вызы-вает в пространстве между его полюсами изменение магнитного поля и возникновение вихревого электрического поля. Силовые линии вих-ревого электрического поля представляют собой концентрические ок-ружности и расположены в плоскости, перпендикулярной оси элек-тромагнита и проходящей через середину зазора между полюсами. В определенный момент времени в камеру попадает пучок электронов из термоэлектронного излучателя, расположенного внутри камеры. На каждый электронов будет действовать сила со стороны электрическо-го поля, вследствие чего скорость у электронов будет увеличиваться. Непременным условием ускорения электрона является его непрерыв-ное движение по одной и той же орбите. Для этого полюсным нако-нечникам придают такую форму, чтобы магнитное поле убывало от центра к краю по определенному закону.

 

Согласно закону полного тока (1.5.10), циркуляция вектора на-пряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром:

∫ Hdl = I.	(5.1.4)
L

 

Из закона полного тока следует, что источником магнитного поля являются упорядоченно движущиеся электрические заряды. Максвелл предположил, что помимо токов всех видов, связанных с упорядочен-ным движением зарядов, источником возникновения магнитного поля является также переменное электрическое поле.

 

Действительно, по теореме Гаусса поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен:

Ф D = ∫ Dn dS = q,	(5.1.5)
S

 

где q − алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, ох-ватываемых замкнутой поверхностью.

 

Продифференцируем это выражение по времени:

 

d Ф D		d	∫		dq		(5.1.6)
	=			Dn dS =		.
dt		dt
	dt	S

Если поверхность S неподвижна и не деформируется, то измене-ние во времени потока смещения сквозь поверхность S вызывается только изменением электрического смещения D. Поэтому полную производную, стоящую в правой части уравнения, можно заменить частной производной по времени и дифференцирование внести под знак интеграла:

dq	= ∫	dDn dS .	(5.1.7)
dt	S	dt

 

С другой стороны, сила тока определяется выражением:

I = dq	S
= ∫ jn dS.
dt		(5.1.8)

 

Из сравнения выражения (5.1.8) с формулой (5.1.7) следует, что вели-чина ^dD_dtⁿ имеет размерность плотности тока. Эта величина представляет

собой численное значение нормальной составляющей плотности тока, обусловленного не движением свободных электрических зарядов, а изме-

 

нением во времени электрического поля. Поэтому Джеймс Максвелл предложил назвать величину ^dD _dt плотностью тока смещения:

	=	dD	.	(5.1.9)
j
см		dt

 

Следовательно, плотность тока смещения в данной точке про-странства равна скорости изменения вектора электрического смеще-ния в этой точке.

 

Током смещения сквозь произвольную поверхность S называетсяфизическая величина, численно равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность:

 

I см=∫(j см) n dS =∫

dD

d

d Ф

D

n dS =

∫ Dn dS

=

.

(5.1.10)

dt

S

S

dt

dt S

До Дж. Максвелла считалось, что если цепи постоянного тока должны быть обязательно замкнутыми, то это условие не обязательно для цепей переменных токов. С точки зрения Максвелла, цепи любых токов замкнуты. Замкнутость цепей переменных токов обеспечивается токами смещения, которые протекают на тех участках, где нет про-водников, например, между обкладками конденсатора в процессе его зарядки или разрядки.

 

Согласно Максвеллу ток смещения, подобно обычным токам про-водимости, является источником возникновения вихревого магнитно-го поля. В общем случае токи проводимости и ток смещения не разде-лены в пространстве, как это имеет место, например, в конденсаторе с переменным напряжением на обкладках. Все типы токов существуют в одном и том же объеме, поэтому можно говорить о полном токе, равном сумме токов проводимости и токов смещения. Тога обобщен-ный закон полного тока будет иметь вид:

∫ Hdl = I + I см.	(5.1.11)
L

 

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Мак-свелл приписал току смещения только одно свойство − способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

 

Учитывая ток смещения (5.1.11), получим:

 

∫			d Ф D		(5.1.12)
Hdl	= I +	.
L			dt

 

Формула (5.1.12) получила название второе уравнение Максвелла в интегральной форме:циркуляция вектора напряженности магнитно-го поля по замкнутому контуру L равна полному току, пронизываю-щему поверхность, ограниченную этим контуром.

 

Из уравнения (5.1.12) следует, что переменное магнитное поле может возбуждаться движущимися зарядами (электрическим током) и переменным электрическим полем (током смещения). Из двух урав-нений Максвелла можно сделать важный вывод: между электриче-ским и магнитным полями существует тесная взаимная связь. Изме-нение во времени электрического поля вызывает появление вихревого магнитного поля, а переменное магнитное поле является источником вихревого электрического поля.

 

Первые два уравнения Максвелла (5.1.3) и (5.1.12) дополняются еще двумя уравнениями. Третье уравнение Максвелла выражает тео-рему Гаусса для потока вектора электрического смещения сквозь про-извольную замкнутую поверхность S, охватывающую суммарный за-ряд q:

∫ DndS = q.	(5.1.13)
S

 

Оно позволяет рассчитывать электрическое поле, созданное за-данной системой электрических зарядов, произвольным образом рас-положенных в пространстве.

Четвертое уравнение Максвелла представляет собой теорему Га-

 

усса для магнитного потока сквозь произвольную замкнутую поверх-ность S:

∫ Bn dS =0.	(5.1.14)
S

 

Эта теорема является следствием того, что свободных магнитных «зарядов» (свободных магнитных полюсов) в природе не существует.

 

Система уравнений (5.1.3, 5.1.12–5.1.14) является системой урав - нений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме.