Условия для магнитного поля на границе раздела двух изо-тропных сред (для самостоятельной работы)

Рассмотрим поведение линий индукции на границе двух веществ с разными магнитными проницаемостями. Предположим, что мы име-ем границу веществ, магнитные проницаемости которых обозначим через μ₁ и μ₂. Если мы возьмем малый участок S границы раздела, то его можно считать плоским, а поле вблизи него – с каждой стороны однородным. Значение вектора индукции в веществе с магнитной проницаемостью μ₁ обозначим через B ₁, а в веществе с магнитной

проницаемостью μ₂ – через B ₂. Вблизи точек границы вектор магнит-ной индукции можно разложить на две составляющие, из которых од-на В_n будет перпендикулярна к границе раздела, а другая В _τ – парал-

лельна ей.
Тогда: B ₁	= B _{1 n} + B ₁_τ, а B ₂	= B ₂ _n + B ₂_τ.
Установим	связь	между	нормальными составляющими векторов

магнитной индукции с двух сторон границы. Для этого рассмотрим поток магнитной индукции через замкнутую поверхность в виде ломаного ци-линдра, основания которого S ₁ и S ₂ равны и параллельны участку S границы, а образующие параллельны линиям индукции в тех веществах, в которых расположена данная часть цилиндра (рис. 4.6.1). Направим нор-маль n к границе раздела от первого вещества ко второму. Тогда для ос-нования S ₂ это направление будет внешней нормалью, для основания S ₁оно будет противоположно направлению внешней нормали.Согласно

теореме Гаусса _∫ B_n dS = 0 имеем: – B 1 n	S ₁+ B _{2 n} S ₂= 0.
S
S
B ₁		μ₁
		μ₂
n	B ₂	S

Рис.6.1.1

Знак минус получается вследствие того, что В _{1 n} представляет со-бой проекцию B ₁ на направление, противоположное направлению

внешней нормали к элементу поверхности S ₁. Замечая, что	S ₁= S ₂,
имеем: – B _{1 n} + B _{2 n} = 0, откуда
В _{1 n}= В _{2 n}.	(4.6.1)

Таким образом, нормальная составляющая вектора магнитной индукции не меняется при переходе из одного вещества в другое.

Определим соотношение между касательными составляющими векторов магнитной индукции H ₁ и H ₂. В качестве контура, по кото-

рому берется циркуляция вектора напряженности магнитного поля, выберем замкнутый контур аbсd (рис. 4.6.2), стороны аd и bс которого параллельны границе раздела веществ, а стороны аb и dс бесконечно малы. Так как на границе веществ предполагается отсутствие токов,

то согласно теореме о циркуляции вектора Н: _∫ Hdl = 0. Будем об-

abcda

ходить контур аbсdа по часовой стрелке и выберем за положительное направление касательной к границе раздела слева направо. Так как участки аb и dс предполагаются бесконечно малыми, то вся циркуля-ция выражается через участки bс и dа. Обозначая через Н ₁ и Н ₂ на-пряженности в обоих веществах соответственно, получаем:

H ₁_τ bc − H ₂_τ da =0.

b c

μ₁

τ μ2

a d

Рис. 4.6.2

Знак минус во втором члене получается вследствие того, что в нижней среде выбранное направление обхода противоположно поло-жительному направлению касательной. Учитывая, что bс = dа, имеем:

H ₁_τ– H ₂_τ= 0⇒ H ₁_τ= H ₂_τ.

(4.6.2)

Следовательно, касательная составляющая вектора напряжен-ности не меняется при переходе через границу раздела двух веществ.

Переходя к вектору магнитной индукции, в силу соотношения

B =μμ₀ H,получим: ^B ¹^τ=^μ¹.

^B 2τ ^μ2

Таким образом, касательные составляющие вектора магнитной индукции B с двух сторон границы веществ относятся, как магнит-

ные проницаемости μ этих веществ. В том случае, когда граница не перпендикулярна к линиям индукции, линии индукции претерпевают

преломление. Разлагая векторы B ₁ и B ₂ на составляющие, параллель-ные границе и перпендикулярные к границе получим (рис. 4.6.3):

tg α₁

^B 1τ

^B 1τ ^B 2 n

μ₁

^B 1 n

(4.6.3)

tg α

^B 2τ

1 n

2τ

^B 2 n

т. е. тангенсы угла наклона векторов индукции к нормали в двух ве-ществах относятся, как магнитные проницаемости веществ.

		^B 1τ
B _{1 n}	B	α₁	μ₁

			μ₂

α₂

^B 2 n

B ₂

^B 2τ

Рис. 4.6.3

На законе преломления линий индукции основана магнитная защи-та. Она обусловлена тем, что благодаря преломлению линий индукции внутри полости, находящейся в веществе с большим значением магнит-ной проницаемости, магнитное поле оказывается близким к нулю.