Мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает электрическое и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электро-магнитное поле, то в пространстве, окружающем заряды, возникнет последовательность взаимных превращений электрического и маг-нитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну.
Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из системы уравнений Максвелла (5.2.3, 5.2.9–5.2.12). Для упрощения ма-тематических преобразований рассмотрим электромагнитное поле в случае однородной незаряженной (объемная плотность заряда ρ = 0), непроводящей (плотность тока j = 0), не сегнетоэлектрической (ε = const) и неферромагнитной (μ = const) среды.
Система уравнений Максвелла для этого случая с учетом матери-альных уравнений (D =εε 0 E, B =μμ0 H) будет иметь вид:
rot E = − dB dt
rot H = dD (6.1.1)
dt divdiv H E ==00
Запишем дифференциальные уравнения Максвелла в координат-ной форме:
| ∂ E | z | − | ∂ Ey | = −μμ0 | dH | x | ||||||||||||||||||||||
| ∂ z | dt | |||||||||||||||||||||||||||
| ) | dH | ∂ y | ||||||||||||||||||||||||||
| d (μμ0 H | ∂ E | ∂ E | dH y | |||||||||||||||||||||||||
| rot E = − | ⇒ rot E = −μμ 0 | ⇒ | x | − | z | = −μμ0 | ||||||||||||||||||||||
| dt | dt | dt | ||||||||||||||||||||||||||
| ∂ z | ∂ x | |||||||||||||||||||||||||||
| ∂ Ey | − | ∂ E | x = −μμ0 | dH | z | |||||||||||||||||||||||
| ∂ x | dt | |||||||||||||||||||||||||||
| ∂ y | ||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ H | z | − | ∂ H y | =εε0 | dE | x | ||||||||||||||||||||||
| ∂ y | ∂ z | dt | ||||||||||||||||||||||||||
| ) | dE | |||||||||||||||||||||||||||
| d (εε0 E | ∂ H | ∂ H | dEy | |||||||||||||||||||||||||
| rot H | = | ⇒ rot H = εε 0 | ⇒ | x | − | z | = εε0 | |||||||||||||||||||||
| dt | dt | ∂ z | ∂ x | dt | ||||||||||||||||||||||||
| ∂ H y | − | ∂ H | x = εε0 | dE | z | |||||||||||||||||||||||
| ∂ x | ∂ y | dt | ||||||||||||||||||||||||||
div E = 0 ⇒ ∂ ∂ E xx + ∂∂ Eyy + ∂ ∂ E zz = 0 div H = 0 ⇒ ∂ ∂ H xx + ∂∂ Hy y + ∂ ∂ H zz = 0.
(6.1.2)
(6.1.3)
(6.1.4)
(6.1.5)
Возьмем ротор от выражения (6.1.3) и изменим последователь-ность дифференцирования по координатам и времени:
| d | |||||||||||||
| rot (rot E)= rot −μμ 0 dH ⇒ rot (rot E)= −μμ0 | (rot H). | (6.1.6) | |||||||||||
| dt | dt | ||||||||||||
| Подставим выражение (6.1.6) в выражение (6.1.7): | 2 | ||||||||||||
| d | dE | d | |||||||||||
| rot (rot E)= −μμ 0 | εε 0 | ⇒ rot (rot E) | = −μμ 0 εε0 | E 2. | (6.1.7) | ||||||||
| dt | |||||||||||||
| dt | dt | ||||||||||||
| Так как выражение в правой части (6.1.7) представляет двойное | |||||||||||||
| векторное произведение, то | |||||||||||||
| rot (rot E) = ∇× (∇× E) = ∇ (∇ E) − (∇∇) E = | (6.1.8) | ||||||||||||
| = ∇ (∇ E) − | E =∇(div E)− | E. | |||||||||||
| С учетом (6.1.4) получим: | E. | ||||||||||||
| rot (rot E)= − | (6.1.9) |
Подставим (6.1.9) в (6.1.7) и получим:
| E =μμ | εε | d 2 E . | (6.1.10) | ||||||||||||
| dt 2 | |||||||||||||||
| Аналогично можно получить для H: | |||||||||||||||
| H =μμ | εε | d 2 H . | (6.1.11) | ||||||||||||
| dt 2 | |||||||||||||||
| Выражения (6.1.10−6.1.11) представляют собой волновые уравне- | |||||||||||||||
| ния для E и H: | d 2 E | ||||||||||||||
| − υ | d 2 H | − | υ | (6.1.12) | |||||||||||
| dt 2 | E =0и | dt 2 | H =0, | ||||||||||||
| где υ = | − фазовая скорость электромагнитной волны. | ||||||||||||||
| μμ 0 εε0 |
