Электромагнитные волны. Волновое уравнение

 

Мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает электрическое и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электро-магнитное поле, то в пространстве, окружающем заряды, возникнет последовательность взаимных превращений электрического и маг-нитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну.

 

Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из системы уравнений Максвелла (5.2.3, 5.2.9–5.2.12). Для упрощения ма-тематических преобразований рассмотрим электромагнитное поле в случае однородной незаряженной (объемная плотность заряда ρ = 0), непроводящей (плотность тока j = 0), не сегнетоэлектрической (ε = const) и неферромагнитной (μ = const) среды.

 

Система уравнений Максвелла для этого случая с учетом матери-альных уравнений (D =εε ₀ E, B =μμ₀ H) будет иметь вид:

 

rot E = − ^dB _dt

 

rot H = ^dD (6.1.1)

dt ^div_{div H} ^{E =}₌⁰₀

 

Запишем дифференциальные уравнения Максвелла в координат-ной форме:

 

∂ E

z

−

∂ Ey

= −μμ0

dH

x

∂ z

dt

)

dH

∂ y

d (μμ0 H

∂ E

∂ E

dH y

rot E = −

⇒ rot E = −μμ 0

⇒

x

−

z

= −μμ0

dt

dt

dt

∂ z

∂ x

∂ Ey

−

∂ E

x = −μμ0

dH

z

∂ x

dt

∂ y

∂ H

z

−

∂ H y

=εε0

dE

x

∂ y

∂ z

dt

)

dE

d (εε0 E

∂ H

∂ H

dEy

rot H

=

⇒ rot H = εε 0

⇒

x

−

z

= εε0

dt

dt

∂ z

∂ x

dt

∂ H y

−

∂ H

x = εε0

dE

z

∂ x

∂ y

dt

div E = 0 ⇒ ^∂ _∂ ^E _x^x + ^∂_∂ ^E_y^y + ^∂ _∂ ^E _z^z = 0 div H = 0 ⇒ ^∂ _∂ ^H _x^x + ^∂_∂ ^H_y ^y + ^∂ _∂ ^H _z^z = 0.

 

 

(6.1.2)

 

(6.1.3)

 

(6.1.4)

 

 

(6.1.5)

 

Возьмем ротор от выражения (6.1.3) и изменим последователь-ность дифференцирования по координатам и времени:

 

d

rot (rot E)= rot −μμ 0 dH ⇒ rot (rot E)= −μμ0

(rot H).

(6.1.6)

dt

dt

Подставим выражение (6.1.6) в выражение (6.1.7):

2

d

dE

d

rot (rot E)= −μμ 0

εε 0

⇒ rot (rot E)

= −μμ 0 εε0

E 2.

(6.1.7)

dt

dt

dt

Так как выражение в правой части (6.1.7) представляет двойное

векторное произведение, то

rot (rot E) = ∇× (∇× E) = ∇ (∇ E) − (∇∇) E =

(6.1.8)

= ∇ (∇ E) −

E =∇(div E)−

E.

С учетом (6.1.4) получим:

E.

rot (rot E)= −

(6.1.9)

 

Подставим (6.1.9) в (6.1.7) и получим:

E =μμ

εε

d 2 E .

(6.1.10)

dt 2

Аналогично можно получить для H:

H =μμ

εε

d 2 H .

(6.1.11)

dt 2

Выражения (6.1.10−6.1.11) представляют собой волновые уравне-

ния для E и H:

d 2 E

− υ

d 2 H

−

υ

(6.1.12)

dt 2

E =0и

dt 2

H =0,

где υ =

− фазовая скорость электромагнитной волны.

μμ 0 εε0