Используя систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме (5.1.3, 5.1.12–5.1.14), получим полную систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в диффе-ренциальной форме.
Рассмотрим первое уравнение Максвелла (5.1.3). К левой части уравнения применим теорему Стокса:
| ∫ Edl =∫(rot E) ndS, | (5.2.1) | |
| L | S | |
где S – произвольная поверхность, ограниченная контуром L.
Если контур L не деформируется и не перемещается в простран-стве, то правую часть уравнения (5.1.3) можно представить в виде:
| d Ф m | d | dBn | ||||||||
| = | ∫ Bn dS | = ∫ | dS. | (5.2.2) | ||||||
| dt | dt S | S dt |
Подставив выражения (5.2.1–5.2.2) в уравнение (5.1.3), получим:
| d Ф | m | dB | |||||||
| ∫ | Edl | = − | ⇒ ∫ (rot E) n | dS = −∫ | n | dS. | (5.2.3) | ||
| dt | |||||||||
| L | S | S | dt |
Так как поверхность S в выражении (5.2.3) является произволь-ной, то равенство интегралов будет выполняться, если выполняется условие:
| dB | (5.2.4) | ||
| rot E = − dt. | |||
Уравнение (5.2.4) является 1-м уравнением Максвелла в диффе-ренциальной форме.
Рассмотрим второе уравнение Максвелла (5.1.12). К левой части
| уравнения применим теорему Стокса: | ||
| ∫ Hdl =∫(rot H) ndS. | (5.2.5) | |
| L | S | |
Суммарный ток проводимости, пронизывающий произвольную поверхность S, ограниченную контуром L, запишем в виде:
| I =∫ jn dS. | (5.2.6) |
| S |
Если контур L не деформируется и не перемещается в простран-стве, то поток вектора электрического смещения через поверхность S, ограниченную контуром L, можно записать в виде:
| d Ф D | = | d | D dS = | dD n dS . | (5.2.7) | |||
| dt dt ∫ S | n | ∫ S | dt | |||||
Подставив выражения (5.2.5–5.2.7) в уравнение (5.1.12), получим:
| d Ф D | dDn | |||||||||
| ∫ | Hdl | = I + | ⇒ ∫ (rot H) n | dS =∫ jn dS +∫ | dS. | (5.2.8) | ||||
| dt | ||||||||||
| L | L | S | S dt |
Так как поверхность S в выражении (5.2.8) является произволь-ной, то равенство интегралов будет выполняться, если выполняется условие:
| + | dD | . | (5.2.9) | |||
| rot H = j | dt | |||||
Уравнение (5.2.9) является 2-м уравнением Максвелла в диффе-ренциальной форме.
3-м и 4-м уравнениями Максвелла в дифференциальной форме яв-
ляются теоремы Гаусса для электрического (5.2.10) и магнитного (5.2.11) поля в дифференциальной форме:
| div D =ρ. | (5.2.10) |
| div B = 0. | (5.2.11) |
Уравнения (5.2.3, 5.2.9–5.2.11) составляют систему четырех урав-нений Максвелла в дифференциальной форме.
Четыре фундаментальных уравнения Максвелла не образуют пол-ную систему уравнений электромагнитного поля в веществе. В самом деле, если два векторных уравнения системы (5.2.3, 5.2.9) записать в ко-ординатной форме, то с учетом двух оставшихся уравнений получится восемь скалярных уравнений. Они связывают между собой проекции пяти векторов (Е, D, Н, В, j) и ρ, т. е. восемь уравнений содержат шест-надцать неизвестных величин. Это связано с тем, что уравнения Мак-свелла не содержат никакой информации о свойствах среды, в которой существует электромагнитное поле. Электромагнитные свойства веще-ства (материи) определяются уравнениями, которые в случае изотроп-ной, однородной, проводящей, неферромагнитной и не сегнетоэлектри-
| ческой среды (ε = const, μ = const, σ = const) имеют вид: | ||||
| D =εε0 E, B =μμ0 H, j =σ E. | (5.2.12) | |||
Уравнения (5.2.12) называют материальными уравнениями среды. Уравнения (5.2.3, 5.2.9–5.2.12) образуют полную систему уравне-ний электромагнитного поля в среде, решение которой при заданных граничных условиях позволяет определить векторы Е, D, Н, В, j и ска-ляр ρ в каждой точке среды с заданными ее характеристиками ε, μ, σ.
Уравнения справедливы при следующих условиях: 1) материальные тела в поле неподвижны;
2) материальные константы ε, μ, σ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля;
3) в поле отсутствуют постоянные магниты и ферромагнитные тела. Из уравнений Максвелла следует:
• источниками электрического поля являются либо электриче-
ские заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля (1-е и 3-е уравнение);
• магнитное поле может возбуждаться либо электрическими то-ками, либо переменным электрическим полем (2-е уравнение);
• переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле − с магнит-ным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом и образуют единое электромагнитное поле.
Тема 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Лекция № 8
6.1. Электромагнитные волны. Волновое уравнение.
6.2. Основные свойства электромагнитной волны. Уравнение элек-тромагнитной волны. Фазовая скорость. Монохроматические волны.
6.3. Энергия электромагнитной волны. Вектор Умова−Пойнтинга.
6.4. Шкала электромагнитных волн.
