Потенциальная энергия может быть определена исходя из (2.3) как

(2.3)

где C – постоянная интегрирования.

Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести . Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения на ось OY:

где – проекция силы тяжести, ΔS _y – проекция вектора перемещения. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h ₁, в точку, расположенную на высоте h ₂ от начала координатной оси OY(рис. 2.2.), то сила тяжести совершила работу:

.

 

 

Эта работа равна изменению некоторой физической величины , взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести

E_p = mgh.

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

A = –(E_p2 – E_p1).

Найдём потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

где F_{x упр} — проекция силы упругости на ось х,

k — коэффициент упругости (для пружины – жёсткость),

знак минус указывает, что F_{x упр} направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.

Элементарная работа dA, совершаемая силой F_x при бесконечно малой деформации dx, равна:

а полная работа

.

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела:

Полная механическая энергия системы:

т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

§ 3. Закон сохранения энергии

 

Рассмотрим систему материальных точек массами т ₁, т ₂..., т _n и движущихся со скоростями u₁, u₂..., u_n. Пусть F' ₁, F' ₂,..., F'_n — равнодействующие внутренних консервативны сил, F ₁, F ₂..., F_n — равнодействующие внешних сил, а f ₁, f ₂..., f_n — равнодействующие внешних консервативных сил. Второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

, ,

………………

,

Умножим каждое из уравнений на соответствующее перемещение и, учитывая, что , получим:

, ,

………………

,

Сложив эти уравнения, получим:

(3.1)

 

.

где dЕ_к – кинетическая энергия системы.

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dE_пот системы.

Правая часть равенства (3.1) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем

(3.2)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2:

т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (3.2) следует, что:

,

откуда

,(3.3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (3.3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

 

Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости. Рис. 3.1 поясняет решение этой задачи.

 

 

Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде:

Обратим внимание на то, что сила натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы.

При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней точке сообщается только силой тяжести:

Из этих соотношений следует:

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами и направленными в противоположные стороны:

Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно:

.

Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.

МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

 

Момент инерции

Моментом инерции системы (твёрдого тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В качестве примера найдём момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси.

 

 

Разобьём цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра:

(т.к. dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm – масса всего элементарного цилиндра; его объём . Если r – плотность материала, то или . Тогда момент инерции сплошного цилиндра:

но т.к. – объём цилиндра, то его масса , а момент инерции:

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_C относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенную с произведением массы m тела на квадрат расстояния a между осями:

Значения моментов инерции некоторых тел приведены в табл. 1 (тепа считаются однородными, т — масса тепа).

Таблица 1

№ п.п.	Тело	Положения оси	Момент инерции
	Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
	Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же
	Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходят через его середину
	Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
	Шар радиусом R	Ось проходят через центр шара
	Тонкостенная сфера радиусом R	Ось проходят через центр сферы