Цикл Карно и его к. п. д. для идеального газа

 

Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго рода — периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты,— невозможен.

(Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя (исторически второе начало термодинамики и возникло из анализа работы тепловых двигателей)).

Принцип действия теплового двигателя приведен на рис. 6. От термостата с более высокой температурой Т₁, называемого нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q₁, а термостату с более низкой температурой Т₂, называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q₂, при этом совершается работа A = Q₁ - Q₂.

 

 

 

Чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигателя был h = l, должно быть выполнено условие Q ₂ = 0, т. е. тепловой двигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно. Так, французский физик и инженер Н. Л. С. Карно (1796—1832 гг) показал, что для работы теплового двигателя необходимо не менее двух источников теплоты с различными температурами, иначе это противоречило бы второму началу термодинамики.

Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в холодильной машине, принцип действия которой представлен на рис. 7. Системой за цикл от термостата с более низкой температурой T₂ отнимается количество теплоты Q₂ и отдается термостату с более высокой температурой T₁ количество теплоты Q₁.

Для кругового процесса, согласно, Q = A, но, по условию, Q = Q₂ - Q ₁ < 0, поэтому А <0 и Q ₂ ‑ Q ₁ = - А, или Q ₁ = Q ₂ + А, т. е. количество теплоты Q ₁, отданное системой источнику теплоты при более высокой температуре Т ₁, больше количества теплоты Q₂, полученного от источника теплоты при более низкой температуре T₂, на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать её более нагретому телу. Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.

Основываясь на втором начале термодинамики, Карно вывел теорему, носящую теперь его имя: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей (T₁) и холодильников (T₂), наибольшим к.п.д. обладают обратимые машины; при этом к.п.д. обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей (T₁) и холодильников (T₂), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела, совершающего круговой процесс и обменивающегося энергией с другими телами).

Карно теоретически проанализировал обратимый наиболее, экономичный цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, и называемый циклом Карно. Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным поршнем.

Цикл Карно изображен на рис. 8, где изотермические расширение и сжатие заданы соответственно кривыми 1 – 2и 3 – 4,аадиабатические расширение и сжатие – кривыми 2 – 3и 4 – 1. При изотермическом процессе U =const, поэтому, количество теплоты Q₁, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения A₁₂, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

(2.27)

 

 

При адиабатическом расширении 2 – 3теплообмен с окружающей средой отсутствует и работа расширения A₂₃ совершается за счет изменения внутренней энергии:

(2.28)

Количество теплоты Q₂, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия A₃₄:

(2.29)

Работа адиабатического сжатия:

(2.30)

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

А = A₁₂ +A₂₃ +A₃₄ +A₄₁ = Q₁ + A₂₃ ‑ Q₂ ‑ A₂₃ = Q₁ ‑ Q₂

и, как можно показать, определяется площадью на рис. 8.

Термический к.п.д. цикла Карно

(2.31)

Применив уравнение () для адиабат 2 ‑ 3 и 4 ‑ 1, получим

,

откуда

(2.32)

Подставляя (2.27) и (2.29) в формулу (2.31) и учитывая (2.32), получим:

т. е. для цикла Карно к.п.д. действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для его повышения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при T ₁ =400 K и Т ₂ = 300 К h = 0,25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а температуру холодильника понизить на 50 К, то h = 0,5. (К.п.д. всякого реального теплового двигателя из-за трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно.)

(Обратный цикл Карно лежит в основе действия тепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть — получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором.)

 

Теорема Карно послужила основанием для установления термодинамической шкалы температур. Сравнив левую и правую части формулы (59.4), получим

т. е. для сравнения температур Т ₁ и Т ₂ двух тел необходимо осуществить обратимый цикл Карно, в котором одно тело используется в качестве нагревателя, другое — холодильника.

Из равенства видно, что отношение температур тел равно отношению отданного в этом цикле количества теплоты к полученному. Согласно теореме Карно, химический состав рабочего тела не влияет на результаты сравнения температур, поэтому такая термодинамическая шкала не связана со свойствами какого-то определенного термометрического тела. Отметим, что практически таким образом сравнивать температуры трудно, так как реальные термодинамические процессы являются необратимыми.

 

 

§ 8. Уравнение Ван-дер-Ваальса

 

Учитывая собственный объем молекул и сил межмолекулярного взаимодействия, голландский физик И. Ван-дер-Ваальса вывел уравнения состояния реального газа, введя две поправки:

1. Учет собственного объема молекул. Наличие сил отталкивания, которые противодействуют проникновению в занятый молекулой объем других молекул, сводится к тому, что фактический - свободный объем, в котором могут двигаться молекулы реального газа, будет не V_т, а V_т ‑ b, где b – объем, занимаемый самими молекулами.

2. Учет притяжения молекул. Действие сил притяжения газа приводит к появлению дополнительного давления на газ, называемого внутренним давлением. По вычислениям Ван-дер-Ваальса, внутреннее давление обратно пропорционально квадрату молярного объема, т. е.

(8.1)

где а – постоянная Ван-дер-Ваальса, характеризующая силы межмолекулярного притяжения, V_т – молярный объем.

Вводя эти поправки, получим уравнение Ван-дер-Ваальса для моля газа (уравнение состояния реальных газов):

(8.2)

Для произвольного количества вещества n газа (n = т/М)с учетом того, что V = n×V_m, уравнение Ван-дер-Ваальса примет вид

или

.

где поправки а и b – постоянные для каждого газа величины, определяемые опытным путем (записываются уравнения Ван-дер-Ваальса для двух известных из опыта состояний газа и решаются относительно а и b).

 

Изотермы Ван-дер-Ваальса

 

Для исследования поведения реального газа рассмотрим изотермы Ван-дер-Ваальса — кривые зависимости р от V_m при заданных Т, определяемые уравнением Ван-дер-Ваальса (8.2) для моля газа (рис. 9.1).

При высоких температурах (Т>Т_К) изотерма реального газа отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением её формы, оставаясь монотонно спадающей кривой. При некоторой температуре Т_к на изотерме имеется лишь одна точка перегиба K. Эта изотерма называется критической, соответствующая ей температура Т_к – критической температурой. Критическая изотерма имеет одну точку перегиба K, называемую критической точкой; в этой точке касательная к ней параллельна оси абсцисс. Соответствующие этой точке объем V _к и давление P _к называются также критическими. Состояние с критическими параметрами (Р _к, V _к, Т_к ) называется критическим состоянием. При низких температурах (Т<.Т_К) изотермы имеют волнообразный участок, сначала монотонно опускаясь вниз, затем монотонно опускаясь.

 

Для пояснения характера изотерм преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса (8.2) к виду

(9.1)

Уравнение (9.1) при заданных P и T является уравнением третьей степени относительно V _m, следовательно, оно может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два мнимых, причём физический смысл имеют лишь вещественные положительные корни.

Поэтому первому случаю соответствуют изотермы при низких температурах три значения объема газа V ₁, V ₂и V ₃ отвечают одному значению давления P ₁, второму случаю — изотермы при высоких температурах.

 

Таким образом, истинная изотерма будет иметь вид ломаной линии 7 - 6 - 2 - 1. Часть 7 - 6 отвечает газообразному состоянию, а часть 2 - 1 - жидкому. В состояниях, соответствующих горизонтальному участку изотермы 6 - 2, наблюдается равновесие жидкой и газообразной фаз вещества. Вещество в газообразном состоянии при температуре ниже критической называется паром, а пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью, называется насыщенным.