Подставляя (2.6) в (2.5), получим

 

(2.7)

 

Это выражение называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы:

1 Н= 1 кг×м/с².

На рис. 2.1. действующая сила разложена на две составляющие: тангенциальную силу F_t (направлена по касательной к траектории) и нормальную F_n (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и , а также можно записать:

;

.

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

 

 

Сила – равнодействующая силы тяжести и силы нормального давления действующих на лыжницу на гладкой горе. Сила вызывает ускорение лыжника.

 

Третий закон Ньютона

Третий законом Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

(3.1)

где F₁₂ — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F₂₁ — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой.

Рис. 3.1 иллюстрирует третий закон Ньютона. Человек действует на груз с такой же по модулю силой, с какой груз действует на человека. Эти силы направлены в противоположные стороны. Они имеют одну и ту же физическую природу – это упругие силы каната. Сообщаемые обоим телам ускорения обратно пропорциональны массам тел.

 

 

В этом случае: .

 

Силы трения

Силы трения – силы, которые препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга.

Силы трения зависят от относительных скоростей тел. В результате действия сил трения их механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении.

Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки. Они всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям.

Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения, качения или верчения. Сила трения покоя всегда равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону (рис. 4.1.).

 

 

Сила трения покоя (υ = 0).

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою.

 

Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рис. 4.2), к которому приложена горизонтальная сила F. Тело придёт в движение лишь тогда, когда приложенная сила F будет больше силы трения F_тр. Отсюда следует закон: сила трения F_тр пропорциональна силе N нормального действия, с которой одно тело действует на другое:

,

где f – коэффициент трения скольжения.

Если тело находится на наклонной плоскости с углом наклона a, то оно приходит в движение, только когда тангенциальная составляющая F силы тяжести P больше силы трения F_тр. Следовательно:

откуда

Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла a_о, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.

Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения

где p_o — добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S — площадь контакта между телами; f _ист — истинный коэффициент трения скольжения.

В некоторых случаях силы трения оказывают вредное действие и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между этими поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят друг относительно друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим внутренним трением жидкости.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые н роликовые подмышники и т. д.). Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

(4.1)

где r — радиус катящегося тела; f _к — коэффициент трения качения.

Из (4.1) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

§ 5. Закон сохранения импульса

 

Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны т ₁, т ₂..., т _n и u₁, u₂..., u_n. Пусть F' ₁, F' ₂,..., F'_n — равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a, F ₁, F ₂..., F_n — равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

, ,

………………

,

Складывая почленно эти уравнения, получаем:

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то:

или

(5.1)

где — импульс системы. Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Если в уравнении (5.1) векторная сумма сил равна нулю, то

, т.е.

Последнее выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

§ 1. Энергия, работа, мощность

 

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и т.д.

Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, вводится понятие работа силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол a с направлением перемещения, то работа этой силы равна:

. (1.1.)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (1.1.) пользоваться нельзя.

Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина:

где a - угол между векторами F и dr; dS = dr – элементарный путь; F_S – проекция вектора F на вектор dr (рис. 1).

 

 

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу:

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F_S от пути S вдоль траектории 1 и 2. Эта зависимость представлена на рис. 1.2.

 

 

Тогда искомая работа определяется на графике площадью заштрихованной фигуры. Если тело движется прямолинейно, сила F = const и a = const, то получим:

,

где S – пройденный телом путь.

Из формулы (1.1) следует, что при a < p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F, совпадает по направлению с вектором скорости движения u (см. рис. 1.1). Если a > p/2, то работа силы отрицательна. При a = p/2(сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

(1.3)

За время dt сила F совершает работу F×dr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени:

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 c совершается работа 1 Дж (1 Вт= 1 Дж/с).