Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла:
Вычисляется как сумма произведений соответствующих координат этих векторов (a,b) = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Определение. Векторное произведение двух векторов – это вектор, перпендикулярный векторам a и b, образующий с ними правую тройку и имеющий длину
Вычисляется как определитель 
.
Геометрически длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Определение. Смешанное произведение трех векторов это число, равное скалярному произведению третьего вектора на векторное произведение первых двух (a, b, c) = (a×b, c).
Вычисляется как определитель 
Геометрически модуль смешанного произведения векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Если смешанное произведение равно нулю, то вектора лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.
1.25. В таблице 1.14 заданы векторы 
, 
Вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) угол между векторами 
и 
.
Таблица 1.14
| № | ||||
| (4, –2, –4) | (1, 4, –2) | (1, 1, 1) | (0, 1, 1) |
| (5, –1, 3) | (3, 1, 1) | (1, –1, 0,) | (–1, 1, 0) |
1.26. Найти и построить вектор 
= 
, если:
1) 
= 2 
, 
= 3 
; 2) 
= 
, 
= 
;
3) 
= 
= 
.
Определить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
1.27. Найти 
× 
, синус угла между векторами 
и 
, если:
1) 
= (1, –5, – 3), 
= (–2, 4, 3);
2) 
= (3, –2, 6), 
= (6, 3, –2);
3) 
= (3, 0, –4), 
= (1, –2, 2).
1.28. Найти площадь треугольника с вершинами:
1) А (2; 2; 2), В (1; 3; 3), С (3; 4; 2);
2) А (–3; –2; –4), В (–1; –4; –7), С (1; –2; 2).
1.29. Найти смешанное произведение 
, 
и 
, если:
1) 
= (1, 1, 2), 
= (1, –2, 3), 
= (2, 1, 1);
2) 
= (5, –2, –1), 
= (1, –2, 1), 
= (1, 2, –2).
1.30. Установить, компланарны ли векторы:
1) 
= (1, 1, 3), 
= (0, 2, –1), 
= (1, –1, 4);
2) 
= (1, 2, 2), 
= (2, 5, 7), 
= (1, 1, –1).
1.31. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
= (3, 2, 1), 
= (1, 0,–1), 
= (1, –2, 1).
1.32. Треугольная пирамида задана координатами своих вершин
1) А (–1; 1; 0), В (2;–2; 1), С (3; 1; –1), Д (1; 0; –2).
2) А (–4; –4; –3), В (–2;–1; 1), С (2; –2; –1), D (1; 3; –2).
Найти: угол <ДАВ; S – площадь грани АВС, V – объём пирамиды, высоту пирамиды.
Решение.
1) Найдём векторы 
и 
:
= (1 + 1; 0 – 1; – 2– 0) = (2; –1; –2), 
= (2 + 1; –2–1; 1 –0) = (3; –3; 1),
,
.
2) Найдем вектор 
= (4; 0; –1), тогда векторное произведение
Его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Вычислим: 
.
Тогда площадь ∆АВС равна половине площади параллелограмма:
3) Найдём смешанное произведение:
= 0 + 4+ 6 – (0+24+3)= –17.
, 
,
Значит, 
4) Т.к. 
, то можно найти высоту пирамиды 
1.2.3. Линейные операторы.
Собственные векторы и собственные значения
Любую квадратную матрицу можно рассматривать как линейный оператор, действующий на векторах. Матрица линейного оператора строится следующим образом: фиксируем базис линейного пространства (е1, е2) и действуем на базисные вектора данным преобразованием φ. Например, рассмотрим поворот на 60 
(рис. 1.2); при этом базисные вектора переходят в вектора е1', e2'. Раскладываем эти образы по прежнему базису, коэффициенты разложения образуют столбцы матрицы линейного оператора преобразования.
e1= i 
= 
e2 = j 
= 
A = 
.
Рис. 1.2. Линейное преобразование поворота на 60˚
Определение. Вектор х называется собственным для матрицы А, если Ах = λх или (А – λЕ) х =0. Собственные числа λ являются корнями характеристического уравнения det (A – λE) = 0.
1.33. Линейный оператор 
в базисе 
задан матрицей А. Найти образ 
где:
1) 
= 4 
–3 
, А = 
; 2) 
= 2 
+ 4 
– 
,
А = 
1.34. Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами матрицы А, и указать соответствующие собственные значения:
, 
1.35. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных матрицами:
1) А = 
2) А = 
3) А = 
4) А = 
Задача о нахождении соотношения сбалансированности торговли
Постановка задачи. Пусть имеется несколько стран с известными национальными доходами Х = (х1, х2, …, хn). Структурная матрица торговли А показывает долю национального дохода, которую страна тратит на покупку товаров других стран и внутри своей страны. Требуется найти соотношение национальных доходов для сбалансированности торговли.
Математически эта задача сводится к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению 1.
Пример 1.10. Задана структурная матрица торговли 
. Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.
Решение:
= 
.
= 
= (0,5 – 
)٠(0,6 – 
) –2 = 0,3 – 0,5 – 0,6 + 2 – 0,2 = 2 – 1,1 + 0,1 = 0.
Находим корни уравнения – собственные значения матрицы. Действительно, = 1, = 0,1. Тогда, собственный вектор для = 1:
(А – 1Е) ٠ Х = 
• 
= 
.
Имеем систему 
. Собственный вектор Х = (0,8; 1).
Соотношение доходов получается 0,8: 1 или 4: 5.
1.36. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:
А = 
.
Найти бюджет первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед.
1.37. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:
A= 
.
Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле, если сумма бюджетов 
= 6270 усл. ед.
Контрольные задания
Вариант 1.
1. Найти разложение вектора a=(7;4;3) по базису e1=(1;2;0),
e2 =(3; –1; 2), e3 = (0; 4;–1).
2. Известно, что неколлинеарные векторы x(а;1) и у(в;1) являются собственными векторами матрицы 
. Найти координаты а и в.
3. Определить длины векторов, на которых построен параллелограмм с диагоналями с = 2i – j + 3k и d = 2i –2j + 4k.
4. Найти площадь треугольника с вершинами: А (2; 1; 4), В (1; 0; 3), С (3; 1; 2).
Вариант 2.
1. Найти значение параметра а, при котором вектор (1,а) является собственным для матрицы 
.
2. Найти длину вектора с = 2a – 3b,если |a| = 3, |b| = 2, угол между ними 60.
3. Образуют ли векторы базис e1 = (–2, 2, 4), e2 = (0, 1, 0), e3 = (2, –3, −4)?
4. При каком значении m вектора a = m i –3 j + 2 k и b = i + 2 j – m k перпендикулярны?
Аналитическая геометрия
В этом параграфе рассматриваются различные виды уравнений, задающие прямую на плоскости и пространстве, уравнение плоскости, взаимное расположение прямой и плоскости, уравнение кривых второго порядка.
Прямая на плоскости
1.38. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно: 1) оси ОУ, А(2; –3); 2) оси ОХ, А(1; 2); 3) прямой 2 x – 3 y + 1 = 0, А(2; –3); 4) прямой x + y – 2 = 0, А(1; 2).
1.39. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой: 1) 3 х – 2 у + 5 = 0, А (2; –1); 2) 2 х + у – 7 = 0, А(0; 3).
Задача про треугольник
Треугольник задан координатами своих вершин А(–2; 0), В(2; 4), С(4; 0). Найти: 1) уравнение стороны; 2) уравнение медианы, проведенной из вершины А; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины А; 4) уравнение прямой, проходящей через А параллельно ВС.
1) 
Найдем уравнение стороны ВС по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:
(1.1)
В(2; 4), С(4; 0), следовательно,
2у – 8 = –4х + 8,
2у = –4х + 16,
у = –2х + 8.
Рис. 1.3. Треугольник на плоскости
2) Найдем уравнение медианы АЕ из точки А:
Пусть Е – середина отрезка ВС. Координаты середины отрезка найдем по формулам:
Хсер = 
, Усер = 
ХЕ = 
, УЕ = 
.
Точка Е имеет координаты Е(3; 2). Найдем уравнение прямой (АЕ) по (1.1): 
–2х + 6 = – 5у + 10, 5y = 2x+4, у = 0,4 х + 0,8 – уравнение медианы.
3) Найдем уравнение высоты АD.
Т. к. прямая AD перпендикулярна прямой ВС, то из условия перпендикулярности прямых через угловые коэффициенты имеем:
kАD = 
= 
= 
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с известным угловым коэффициентом, имеет вид:
у – у0 = k (х – х0) (1.2)
Используя точку А(–2; 0) и k = 1/2, имеем у – 0 = 0,5(х – (–2)) или
у = 0,5х + 1 – уравнение высоты.
4) Найдем уравнение прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой ВС.
Т. к. прямая l // BC, то их угловые коэффициенты равны k ι = kВС.
kι = –2. Тогда по уравнению (1.2), зная точку А(–2; 0) и k = –2, найдем
у – 0 = – 2 (х + 2) или у = –2х – 4 – уравнение параллельной прямой.
Все уравнения полученных прямых проверьте по чертежу! Свободный член в уравнении прямой показывает её пересечение с осью ОУ.
1.40. Для треугольников, заданных координатами своих вершин найти 1) уравнение сторон; 2) уравнение медиан; 3) уравнение высот 4) уравнение прямой, проходящей через вершину, параллельно противоположной стороне, 5) угол А треугольника.
1) А(1; 1), В(2; 5), С(6; 2); 2) А(–1;–1), В(2; 5), С(4; –2);
3) А(–3; 1), В(2; 4), С(3; –1); 4) А(1;–2), В(6; 2), С(–1; 6);
5) А(–2; 3), В(4; 5), С(4; –2); 6) А(1;–3), В(3; 4), С(7; –2);
7) А(1; 3), В(8; 5), С(3; –2); 8) А(–4;–2), В(1; 5), С(3; –2);
9) А(–5; –1), В(–4; 6), С(1; 0); 10) А(1; 1), В(2; 2), С(3; –4).
1.41. А – вершина прямоугольника, противоположный угол образован осями координат. Составить уравнения сторон и диагоналей этого прямоугольника, если: 1) А (–4; 3); 2) А (2; 3).
1.42. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат OX и OY отрезки: 1) а = 2 и b = –5; 2) а = –1 и b = 4.
1.43. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 3 кв. ед.
1.44. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 5х – у +10 = 0 и 8х + 4у + 9 = 0 параллельно прямой х + 3у = 0.
1.45. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х – 3у + 5 = 0 и 3х + у – 7 = 0, перпендикулярно к прямой у = 2х.
1.46. Даны вершины параллелограмма: точки А(3; –5), В(–1, 3). Определить четвертую вершину D, противоположную В.
1.47. Известны уравнения двух смежных сторон параллелограмма
х + у + 5 = 0 и х – 4у = 0. Составить уравнения двух других сторон, если известна точка пересечения его диагоналей Р(2; –2).
1.48. Известны середины сторон треугольника АВС, это точки Р(1; 2),
Q(5;–1) и R(–4; 3). Составить уравнение его сторон.
1.49. Известны одна из вершин А(–2; 1) и уравнения двух сторон прямоугольника 3 х – 4у + 5 = 0и 4х + 3у – 7 = 0. Составить уравнения двух других сторон.
