Рассмотрим три основных метода решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Заметим, что метод Крамера и матричный могут применяться только для невырожденных систем, т. е. систем с определителем, неравным нулю. При этом система имеет единственное решение. Метод Гаусса более универсальный и позволяет решать как определенные системы (имеющие единственное решение), так и неопределенные системы, имеющие множество решений. Применяя преобразования метода Гаусса, можно ответить на вопрос: совместна ли система или вообще не имеет решений, найти ранг матрицы.
Пример 1.6. Решение системы методом Крамера.
Решить систему 
.
Строим матрицу системы, вычисляем её определитель:
∆ = 
= 45 + 1 + 12 – (–9 + (–6) + 10) = 63.
Построим определитель 
∆1 заменой 1-го столбца на столбец правых частей и вычислим:
∆1 = 
= 18 + (–5) + 24 – (45 + (–12) + 4) = 0,
тогда переменная х находится по формуле х = 
= 
= 0.
Найдем ∆2 заменой 2-го столбца на столбец правых частей:
∆2= 
= 60 + (–2) + 30 – (– 12 + 12 + 25) = 63,
тогда переменная y находится по формуле y = 
= 1.
Найдем ∆3 заменой 3-го столбца на столбец правых частей:
∆3= 
= – 75 + (–4) + (–8) – (6 +10 + (–40)) = –63,
тогда переменная z находится по формуле z= 
= –1.
Ответ: (x, y, z) = (0, 1, –1).
Пример 1.7. Решение системы методом Гаусса.
Построим по данной системе расширенную матрицу системы 
.
Её необходимо с помощью элементарных преобразований привести к треугольному виду 
. Ниже главной диагонали должны быть нули.
Разрешены следующие элементарные преобразования, не меняющие пространства решений системы:
§ можно менять местами строки;
§ умножать строку на ненулевое число;
§ складывать или вычитать любые две строки, умноженные на любое число;
§ вычеркивать нулевые или пропорциональные строки.
Если в столбце есть 1, удобно переставить строки, поставив 1 на первое место. Умножим первую на 2, вычтем из второй:
~ 
.
Разделим 2-ю строку на 7, переставим с 3-й, первую умножим на 5, вычтем из второй, получаем:
~ 
.
Разделим 3-ю строку на 9 и вычтем 2-ю, имеем 
. Эта матрица приведена к треугольному виду. Первый этап закончен.
Построим теперь по ней систему уравнений: 
.
Приступаем ко второму этапу – обратный ход метода Гаусса. Находим из последнего уравнения z = –1; поднимаясь во второе и подставляя найденное z, находим y = 1; затем из первого находим х = 0. Итак, (x, y, z) = (0, 1, –1).
1.9. Определить ранг матрицы В (табл. 1.5).
Таблица 1.5
| № | ||||
| Матрица В | 2 5 6 4 –1 5 2 –6 –1 | 1 2 1 4 0 5–1 4 –1 3 4 6 | 1 3 7 2 5 –1 0 4 8 3 3 6 10 –4 7 | 2 0 3 5 1 4 3 1 7 5 0 3 –5 –3 3 2 3 –2 2 4 |
Замечание. Для вычисления ранга матрицы удобно привести ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований. Количество ненулевых строк, оставшихся после приведения, равно рангу матрицы.
1.10. Решить систему уравнений различными методами. В таблице 1.6 указаны матрица системы А и столбец правых частей В.
Таблица 1.6
| № | А | В |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
1.11. Исследовать систему на совместность и в случае совместности методом Гаусса найти общее решение, указать хотя бы одно базисное решение:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
1.1.5. Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений
Пример 1.8. Отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Тот ответил, что удвоенный возраст старшего сына на 18 лет превышает сумму возрастов обоих сыновей, а возраст младшего на 6 лет меньше разности их возрастов. Сколько лет каждому сыну?
Решение. Построим математическую модель задачи как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть х – возраст младшего сына, а у – возраст старшего сына. Имеем:
Ответ. Младшему сыну 12 лет, а старшему 30 лет.
1.12. Построить модели к старинным математическим задачам в виде системы уравнений и решить их.
1) В семье были и сыновья и дочери. Каждый сын имел столько братьев, сколько сестер, а каждая сестра имела в два раза больше братьев, чем сестер. Сколько сыновей и сколько дочерей имела эта семья?
2) Три цыпленка и одна утка проданы за ту же сумму, что и два гуся, а еще один цыпленок, две утки и три гуся проданы вместе за 25 долларов. Сколько стоит каждая птица, если цены выражаются целым числом долларов?
3) Некто купил 30 птиц за 30 монет. За каждых трех воробьев – 1 монета, за 2 горлицы – 1 монета, за 1 голубя – 2 монеты. Всего было куплено 30 птиц за 30 рублей. Сколько было птиц каждой породы?
4) Торговец скотом купил некоторое количество лошадей по 344 доллара и некоторое количество волов по 265 долларов. Он обнаружил, что все лошади обошлись ему на 33 доллара дороже, чем волы. Какое наименьшее количество лошадей и волов он мог купить при этих условиях?
5) Девять мальчиков и три девочки решили разделить поровну свои карманные деньги. Каждый мальчик передал одинаковую сумму каждой девочке, а каждая из девочек отдала также одинаковую (но другую) сумму каждому мальчику. У всех детей после этого денег стало поровну. Какова та наименьшая сумма, которая могла быть первоначально у каждого из них?
6) Одному человеку не без труда удалось уговорить Вилли-Лежебоку взяться за работу. Вилли должен был работать в течение 30 дней, получая по 8 долларов в день при условии, что за каждый день прогула он платит штраф 10 долларов. В конце месяца выяснилось, что никто никому не должен ни цента. Это обстоятельство окончательно убедило Вилли в том, что «работа дураков любит». Можете ли Вы сказать, сколько дней он работал, а сколько прогулял?
7) Фермер купил на рынке 100 голов скота на общую сумму 1000 долларов. Одна корова стоила 50 долларов, одна овца – 10 долларов и один кролик – 50 центов. Сколько денег израсходовал фермер на покупку коров, овец и кроликов в отдельности?
8) Когда одного мальчика спросили, сколько лет ему и его сестре, он ответил:
–Три года назад я был в 7 раз старше сестры, два года назад – в 4 раза, в прошлом году – в 3 раза, а в этом году я в 2,5 раза старше ее. Сколько лет мальчику и его сестре?
1.1.6. Применение элементов линейной алгебры
в экономике
Математические модели некоторых экономических задач могут быть записаны в виде систем линейных уравнений или матричных уравнений и решаться методами линейной алгебры и матричного анализа. Рассмотрим примеры таких задач [3, с. 107].
1.13. Обувная фабрика специализируется на выпуске изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трёх типов: S1, S2, S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей 1.7. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.
Таблица 1.7
| Вид сырья | Норма расхода сырья на одну пару | Расход сырья | ||
| Сапоги | Кроссовки | Ботинки | ||
| S1 | ||||
| S2 | ||||
| S3 |
1.14. С двух фабрик поставляются меховые шкурки для двух ателье, потребности которых соответственно 200 и 300 шкурок. Первая фабрика выпустила 350 шкурок, а вторая – 150. Известны затраты на перевозку меха с фабрики в каждое ателье (табл. 1.8). Суммарные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед.
Таблица 1.8
| Фабрика | Затраты на перевозку в ателье, ден. ед. | |
Найти план перевозок меха.
