Системы линейных уравнений

 

Рассмотрим три основных метода решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Заметим, что метод Крамера и матричный могут применяться только для невырожденных систем, т. е. систем с определителем, неравным нулю. При этом система имеет единственное решение. Метод Гаусса более универсальный и позволяет решать как определенные системы (имеющие единственное решение), так и неопределенные системы, имеющие множество решений. Применяя преобразования метода Гаусса, можно ответить на вопрос: совместна ли система или вообще не имеет решений, найти ранг матрицы.

Пример 1.6. Решение системы методом Крамера.

Решить систему .

Строим матрицу системы, вычисляем её определитель:

∆ = = 45 + 1 + 12 – (–9 + (–6) + 10) = 63.

Построим определитель ∆₁ заменой 1-го столбца на столбец правых частей и вычислим:

∆₁ = = 18 + (–5) + 24 – (45 + (–12) + 4) = 0,
тогда переменная х находится по формуле х = = = 0.

Найдем ∆₂ заменой 2-го столбца на столбец правых частей:

∆₂= = 60 + (–2) + 30 – (– 12 + 12 + 25) = 63,

тогда переменная y находится по формуле y = = 1.

Найдем ∆₃ заменой 3-го столбца на столбец правых частей:

∆₃= = – 75 + (–4) + (–8) – (6 +10 + (–40)) = –63,

тогда переменная z находится по формуле z= = –1.

Ответ: (x, y, z) = (0, 1, –1).

Пример 1.7. Решение системы методом Гаусса.

Построим по данной системе расширенную матрицу системы .

Её необходимо с помощью элементарных преобразований привести к треугольному виду . Ниже главной диагонали должны быть нули.

Разрешены следующие элементарные преобразования, не меняющие пространства решений системы:

§ можно менять местами строки;

§ умножать строку на ненулевое число;

§ складывать или вычитать любые две строки, умноженные на любое число;

§ вычеркивать нулевые или пропорциональные строки.

Если в столбце есть 1, удобно переставить строки, поставив 1 на первое место. Умножим первую на 2, вычтем из второй:

~ .

Разделим 2-ю строку на 7, переставим с 3-й, первую умножим на 5, вычтем из второй, получаем:

~ .

Разделим 3-ю строку на 9 и вычтем 2-ю, имеем . Эта матрица приведена к треугольному виду. Первый этап закончен.

Построим теперь по ней систему уравнений: .

Приступаем ко второму этапу – обратный ход метода Гаусса. Находим из последнего уравнения z = –1; поднимаясь во второе и подставляя найденное z, находим y = 1; затем из первого находим х = 0. Итак, (x, y, z) = (0, 1, –1).

1.9. Определить ранг матрицы В (табл. 1.5).

 

Таблица 1.5

№
Матрица В	2 5 6 4 –1 5 2 –6 –1	1 2 1 4 0 5–1 4 –1 3 4 6	1 3 7 2 5 –1 0 4 8 3 3 6 10 –4 7	2 0 3 5 1 4 3 1 7 5 0 3 –5 –3 3 2 3 –2 2 4

Замечание. Для вычисления ранга матрицы удобно привести ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований. Количество ненулевых строк, оставшихся после приведения, равно рангу матрицы.

1.10. Решить систему уравнений различными методами. В таблице 1.6 указаны матрица системы А и столбец правых частей В.

 

Таблица 1.6

№	А	В

 

1.11. Исследовать систему на совместность и в случае совместности методом Гаусса найти общее решение, указать хотя бы одно базисное решение:

1) 2)

 

3) 4)

 

5) 6)

 

7) 8)

 

9)

 

10)

 

1.1.5. Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений

 

Пример 1.8. Отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Тот ответил, что удвоенный возраст старшего сына на 18 лет превышает сумму возрастов обоих сыновей, а возраст младшего на 6 лет меньше разности их возрастов. Сколько лет каждому сыну?

Решение. Построим математическую модель задачи как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть х – возраст младшего сына, а у – возраст старшего сына. Имеем:

 

 

Ответ. Младшему сыну 12 лет, а старшему 30 лет.

1.12. Построить модели к старинным математическим задачам в виде системы уравнений и решить их.

1) В семье были и сыновья и дочери. Каждый сын имел столько братьев, сколько сестер, а каждая сестра имела в два раза больше братьев, чем сестер. Сколько сыновей и сколько дочерей имела эта семья?

2) Три цыпленка и одна утка проданы за ту же сумму, что и два гуся, а еще один цыпленок, две утки и три гуся проданы вместе за 25 долларов. Сколько стоит каждая птица, если цены выражаются целым числом долларов?

3) Некто купил 30 птиц за 30 монет. За каждых трех воробьев – 1 монета, за 2 горлицы – 1 монета, за 1 голубя – 2 монеты. Всего было куплено 30 птиц за 30 рублей. Сколько было птиц каждой породы?

4) Торговец скотом купил некоторое количество лошадей по 344 доллара и некоторое количество волов по 265 долларов. Он обнаружил, что все лошади обошлись ему на 33 доллара дороже, чем волы. Какое наименьшее количество лошадей и волов он мог купить при этих условиях?

5) Девять мальчиков и три девочки решили разделить поровну свои карманные деньги. Каждый мальчик передал одинаковую сумму каждой девочке, а каждая из девочек отдала также одинаковую (но другую) сумму каждому мальчику. У всех детей после этого денег стало поровну. Какова та наименьшая сумма, которая могла быть первоначально у каждого из них?

6) Одному человеку не без труда удалось уговорить Вилли-Лежебоку взяться за работу. Вилли должен был работать в течение 30 дней, получая по 8 долларов в день при условии, что за каждый день прогула он платит штраф 10 долларов. В конце месяца выяснилось, что никто никому не должен ни цента. Это обстоятельство окончательно убедило Вилли в том, что «работа дураков любит». Можете ли Вы сказать, сколько дней он работал, а сколько прогулял?

7) Фермер купил на рынке 100 голов скота на общую сумму 1000 долларов. Одна корова стоила 50 долларов, одна овца – 10 долларов и один кролик – 50 центов. Сколько денег израсходовал фермер на покупку коров, овец и кроликов в отдельности?

8) Когда одного мальчика спросили, сколько лет ему и его сестре, он ответил:

–Три года назад я был в 7 раз старше сестры, два года назад – в 4 раза, в прошлом году – в 3 раза, а в этом году я в 2,5 раза старше ее. Сколько лет мальчику и его сестре?

 

1.1.6. Применение элементов линейной алгебры
в экономике

Математические модели некоторых экономических задач могут быть записаны в виде систем линейных уравнений или матричных уравнений и решаться методами линейной алгебры и матричного анализа. Рассмотрим примеры таких задач [3, с. 107].

1.13. Обувная фабрика специализируется на выпуске изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трёх типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей 1.7. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Таблица 1.7

Вид сырья	Норма расхода сырья на одну пару	Расход сырья
Сапоги	Кроссовки	Ботинки
S1
S2
S3

 

1.14. С двух фабрик поставляются меховые шкурки для двух ателье, потребности которых соответственно 200 и 300 шкурок. Первая фабрика выпустила 350 шкурок, а вторая – 150. Известны затраты на перевозку меха с фабрики в каждое ателье (табл. 1.8). Суммарные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед.

 

Таблица 1.8

Фабрика	Затраты на перевозку в ателье, ден. ед.

 

Найти план перевозок меха.