Определители матриц и их свойства

МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Омск

ОГИС

УДК 517: 519

ББК 32.81

Д 44

Рецензент

канд. пед. наук, профессор ОмГПУ Н. Г. Рыженко

Отв. за выпуск

канд. пед. наук, профессор, зав. каф. ПрИМ О. Н. Лучко

Диденко, О. П.

Д 44 Математика: учебное пособие / О. П. Диденко, С. Х. Мухаметдинова, М. Н. Рассказова. – Омск: Омский государственный институт сервиса, 2013. – 160 с.

ISBN

Целью написания данного учебного пособия является краткое систематическое изложение основных разделов математики в доступной форме, а также рассмотрение примеров решения типовых математических и прикладных экономических задач.

Данное пособие предназначено для использования на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов экономических направлений подготовки, а также направлений подготовки «Прикладная информатика» и «Инноватика». В него включены необходимый теоретический материал и задачи по всем основным разделам курса математики. Стандартные задачи имеют образцы решения, что позволяет использовать пособие для самостоятельной работы, в том числе и студентами заочного отделения.

Глава 1 подготовлена М. Н. Рассказовой, глава 2 – О. П. Диденко, предисловие, введение, глава 3, алфавитно-предметный указатель – С. Х. Мухаметдиновой.

ББК 32.81

УДК 517: 519

_________________________________

Мухаметдинова С. Х.,

Рассказова М. Н.

институт сервиса (оформление), 2013

Оглавление

Предисловие…..………………………………………………………............ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………...……….. ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИ- ЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ…………..…….……............................................. 1.1. Линейная алгебра…………………….……………………..………. 1.1.1. Операции над матрицами………….....………….……..................... 1.1.2. Определители матриц и их свойства.......……………….………... 1.1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений…............. 1.1.4. Системы линейных уравнений ……............................................... 1.1.5. Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений….…………………………………………. ……………. 1.1.6. Применение элементов линейной алгебры в экономике..……… 1.1.7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса………................ 1.2. Векторная алгебра…………………………………………………… 1.2.1. Векторы. Линейные операции над векторами…..……............... 1.2.2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов……………………………………………………………………………… 1.2.3. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения………………………………......................................................... 1.3. Аналитическая геометрия…….…………………………………… 1.3.1. Прямая на плоскости...………………………………………....... 1.3.2. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола.…………..…….. 1.3.3. Прямая и плоскость в пространстве………..………………… ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ............................................. 2.1. Функции одной переменной…………………………………......... 2.2. Предел и непрерывность функции………………………….…….. 2.2.1. Замечательные пределы ……..…………………………..……….. 2.2.2. Непрерывность функции в точке………………………........... 2.3. Производная и дифференциал…………………………….…......... 2.3.1. Примеры вычисления производных …………………………….. 2.3.2. Применение производной в экономике …………………………. 2.3.3. Дифференциал функции …………………….……………………. 2.4. Приложения производной…………….……………..................... 2.4.1. Исследование функции на монотонность, экстремумы и выпуклость. Асимптоты графика функции…………………………... 2.4.2. Общая схема исследования функции и построения ее графика……………………………………………………..………………… 2.5. Неопределенный интеграл…………...……………………..……. 2.5.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле…… 2.5.2. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле……………………………………………………….………………. 2.6. Определенный интеграл……………………….………….………... 2.6.1. Правила вычисления определенного интеграла….….…........ 2.6.2. Геометрические приложения определенного интегра- ла………………………………………………………………………….... … 2.6.3. Применение определенного интеграла в экономике….…….. 2.6.4. Несобственные интегралы…………………………..…...……… 2.7. Функции нескольких переменных….………………………......... 2.7.1. Частные производные, дифференциал, градиент функции………………………………………………………………………......... 2.7.2. Частные производные 2-го порядка. Исследование функции на экстремум………………………………………………………………… 2.7.3. Метод наименьших квадратов………………..………….……. 2.8. Дифференциальные уравнения…………………….………......... 2.9. Последовательности и ряды…………………………...….……….. 2.9.1. Предел последовательности………………………………………. 2.9.2. Числовые ряды…………………………………………..……………. 2.9.3. Степенные ряды …………………………………..…………… ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА…………………………….……………………………………… 3.1. Элементы комбинаторики….…………………............................ 3.1.1. Факториал............................................................................. 3.1.2. Перестановки.......................................................................... 3.1.3. Размещения.............................................................................. 3.1.4. Сочетания..................................................................................... 3.1.5. Правило сложения........................................................................ 3.1.6. Правило произведения.................................................................. 3.2. Элементы теории вероятностей………..…................................... 3.2.1. Основные понятия теории вероятностей…………………….. 3.2.2. Классификация событий………………………….…………. ….… 3.2.3. Алгебра событий……………………………………………………... 3.2.4. Статистический подход к понятию вероятности…………... 3.2.5. Классический подход к понятию вероятности ……….………. 3.2.6. Решение вероятностных задач с помощью комбинато-рики…………………………………………..………………………….......... 3.2.7. Геометрический подход к понятию вероятности…….......... 3.2.8. Аксиоматическое определение понятия вероятности……………………………………………….…………………………… 3.2.9. Вероятность суммы несовместных событий..……................ 3.2.10. Вероятность произведения событий…………….……………. 3.2.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса…..………… 3.2.12. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события………………………………………………………………………... 3.2.13. Локальная формула Муавра−Лапласа…………… ….............. 3.2.14. Интегральная формула Муавра−Лапласа…………..……….. 3.2.15. Формула Пуассона…………………..…………………………….. 3.3. Случайные величины…….………..…..………………………….. 3.3.1. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины…………………………………………….. 3.3.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин……………………………………………………….……………….. 3.3.3. Функция распределения вероятностей случайной величины………………………………………....…………………………………… 3.3.4. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал…………………………..………………………………………….. 3.3.5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.............................................................................................. 3.3.6. Равномерное распределение…………………………….………. 3.3.7. Нормальное распределение……….……………………............. 3.3.8. Показательное распределение…………..……………….......... 3.4. Элементы математической статистики………..………………… 3.4.1. Основные понятия математической статистики............. 3.4.2. Точечные оценки параметров распределения………...……... 3.4.3. Интервальные оценки параметров распределения….......... 3.4.4. Проверка статистических гипотез…………………...……… ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………........... Библиографический список ………………………………………….......... Приложение 1. Таблица значений функции Гаусса

……… Приложение 2. Таблица значений функции Лапласа

Приложение 3. Таблица значений функции Пуассона….…................... … Приложение 4. Таблица значений q = q (g, n)………………………………. Приложение 5. Таблица критических точек распределения

............ Приложение 6. Индивидуальные задания по главам………………………. Алфавитно-предметный указатель…………………………………………..

Предисловие

Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования 3-го поколения и рабочими программами по курсу «Математика» и включает в себя предисловие, введение, три главы, заключение, библиографический список, 6 приложений и алфавитно-предметный указатель.

В пособии рассматриваются основные теоретические и практические аспекты линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач с комментариями и пояснениями, а также контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Среди задач, представленных в учебном пособии, есть задачи, предназначенные для приобретения умений использовать конкретные формулы и теоремы, а также более сложные задачи, для решения которых необходима интеграция знаний и умений, приобретенных в процессе изучения всего курса математики. Задачи, предлагаемые для самостоятельного решения, дают возможность студенту овладеть методами обработки и анализа статистической информации, получить навыки построения математических моделей и интерпретировать полученные результаты. В пособии использованы как задачи, составленные авторами, так и задачи из источников, указанных в библиографическом списке.

Каждый из трех разделов обладает четко выраженной структурой и содержит необходимые для усвоения учебного материала определения понятий, формулы, формулировки правил и теорем, примеры решения наиболее типичных задач.

Первая глава посвящена рассмотрению теоретических и прикладных аспектов линейной алгебры и аналитической геометрии. В ней наряду с традиционными заданиями (решение систем линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы, Гаусса и др.) рассматриваются экономические приложения, такие как, например, модель Леонтьева межотраслевого балансаизадача о нахождении отношения сбалансированности торговли. Приведено большое количество примеров решений и заданий, предназначенных для самостоятельных и контрольных работ.

Во второй главе приведены решения задач математического анализа по основным темам: функции и числовые последовательности, пределы числовых последовательностей и функций, производные функций, неопределенный и определенный интегралы и методы их вычисления, элементы функций многих переменных, дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, дифференциальные уравнения первого и второго порядков, а также числовые и функциональные ряды. Кроме того, глава содержит большое количество разнообразных контрольных заданий по всем перечисленным темам. Особое внимание уделяется экономическим приложениям математического анализа.

Третья глава, посвященная элементам теории вероятностей и математической статистики, в свою очередь, содержит пять подразделов: элементы комбинаторики, элементы теории вероятностей, случайные величины, математическая статистика и задачи для самостоятельного решения. В этой главе особое внимание уделяется основным понятиям и теоремам теории вероятностей и математической статистики, без усвоения которых невозможно успешно овладеть методами решения задач. В конце каждого параграфа представлены контрольные вопросы, которые подготовят читателей к успешной сдаче зачета или экзамена по дисциплине «Математика» и использованию математических методов и моделей в их будущей практической деятельности.

В приложениях представлены таблицы значений функций Гаусса, Лапласа, Пуассона и др., необходимые для решения многих задач теории вероятностей и математической статистики, а также задачи для самостоятельного решения.

Структура и специфика изложения учебного материала в данном пособии направлены на эффективную организацию работы студентов при изучении учебного материала как на практических и семинарских занятиях, так и в процессе самоподготовки.

Глава 1 подготовлена канд. физ.-мат. наук, доцентом Мариной Николаевной Рассказовой, глава 2 – канд. пед. наук Ольгой Павловной Диденко, предисловие, введение, заключение, глава 3, алфавитно-предметный указатель – канд. пед. наук, доцентом Светланой Хамитяновной Мухаметдиновой.

С. Х. Мухаметдинова

ВВЕДЕНИЕ

Современный этап развития общества характеризуется все более активным внедрением математических методов во все сферы деятельности. Маркетинговые, социологические, экономические исследования, задачи поиска эффективных управленческих решений и многие другие задачи немыслимы без соответствующего математического аппарата. Кроме того, развитие современных информационных технологий, позволяющих автоматизировать сложные вычислительные процессы, также способствует широкому использованию математических моделей и методов в различных областях экономики и управления.

Современный мир − мир математизации наук, в том числе и тех наук, которые ранее считались гуманитарными, что в значительной мере определяет место математики в системе высшего профессионального образования. Но, пожалуй, наиболее значительным научным достижением является все более широкое внедрение математических методов в экономические науки и в управление экономическими процессами.

Выпускники современных вузов должны обладать системными знаниями о математических методах и иметь представления о возможностях их применения для решения прикладных задач при анализе, планировании и прогнозировании в различных областях экономики. В этой связи математика как учебная дисциплина прочно заняла место в учебных планах нематематических направлений подготовки высших учебных заведений.

Одной из важнейших задач, связанных с изучением математики, является формирование у студентов вузов высокого уровня абстрактного логического мышления и научного кругозора, наличие которых является одним из главных условий их карьерного роста в будущей профессиональной деятельности и дальнейшего развития экономики РФ в целом.

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

В этой главе рассматриваются основные понятия и задачи линейной алгебры, векторной алгебры и аналитической геометрии. Эти разделы математики взаимосвязаны. Многие математические объекты имеют, с одной стороны, алгебраическую структуру, с другой стороны, геометрическое представление. Поэтому изучаемые алгебраические объекты и методы являются обобщением объектов, которые изучались в курсе школьной математики. Новый взгляд на природу объектов различного типа позволяет систематизировать их известные свойства, открывать новые свойства объектов, операций над ними, определять взаимосвязи.

Линейная алгебра

Одним из основных объектов линейной алгебры являются матрицы и системы линейных уравнений. Понятие матрицы, определителя, операции над ними имеют важное значение для построения математических моделей различных экономических и технических процессов.

Операции над матрицами

Определение. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов. Матрицы обозначают А, В,…С, а их элементы а_ij, где i – номер строки, а j – номер столбца, в котором стоит элемент.

Матрицы одинаковых размеров можно складывать, умножать на число, транспонировать. Эти операции выполняются поэлементно. Умножение двух матриц возможно для матриц определенного размера; количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй: A_m_×_n ٠ B_n_×_p = C_m_×_p_. Умножение матриц некоммутативно, т. е. А٠В ≠ В٠А. Матрицы, для которых равенство выполняется, называют перестановочными.

Свойства операций над матрицами:

1. 3.

2. 4.

5. 7.

6. 8. .

1.1. Вычислить матрицу , где Т – знак транспонирования:

1) , , ;

Пример 1.1.

= = ,

Итак, D =

2) , , ;

3) , , ;

4) , , С

1.2. Даны матрицы А, В в таблице 1.1. Вычислить матрицу , где Е – единичная матрица соответствующей размерности.

Таблица 1.1

№	Матрица А	Матрица В	№	Матрица А	Матрица В
	3 1 0 2 0 1 1 1 3	1 0 0 0 3 0 0 0 2		3 1 1 0 2 –1 1 0 –2	3 0 0 0 –3 0 0 0 1
	1 4 1 2 1 0 –1 0 0	3 0 0 0 5 0 0 0 1		0 0 3 1 2 1 0 0 1	1 0 0 0 1 0 0 0 2
	1 0 1 4 1 0 2 0 1	4 0 0 0 –1 0 0 0 2		1 0 0 0 3 4 0 1 5	3 0 0 0 5 0 0 0 1
				Окончание таблицы 1.1
№	Матрица А	Матрица В	№	Матрица А	Матрица В
	2 1 1 –1 3 0 0 1 –2	5 0 0 0 1 0 0 0 –2		2 5 0 1 4 0 0 0 –1	4 0 0 0 3 0 0 0 2
	0 1 2 3 0 1 0 –1 –2	–1 0 0 0 2 0 0 0 4		2 1 0 0 2 0 0 0 4	1 0 0 0 2 0 0 0 3

1.3. Рассмотреть пример и решить задачи.

1) Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i- го вида на производство единицы продукции j- го типа заданы матрицей затрат А . Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа x_j, записанное матрицей Хn×1.

Определить S матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени.

Пример 1.2.

Дано:

Решение. Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц А и Х, т. е. S = A٠X.

S =

т. е. за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса первого вида, 960 ед. ресурса второго вида, 450 ед. ресурса третьего вида и 630 ед. ресурса четвертого вида.

2) Предприятие выпускает продукцию двух видов: P , P и использует сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей где (i = 1,2; j = 1, 2, 3) – количество единиц сырья типа , необходимого для производства единицы продукции вида . План выпуска продукции задан матрицей – строкой В.Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей – столбцом С (табл. 1.2). Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Таблица 1.2

№	Матрица А	Матрица В	Матрица С
	1 2 3 4 0 5	100 150
	2 3 0 1 0 1	200 100

Найти матричную формулу для решения задачи.

Определители матриц и их свойства

Для каждой квадратной матрицы существует важная числовая характеристика, называемая определителем матрицы, обозначаемая
det A, или |A|, или ∆ – «дельта».

Определение (определителя матрицы).

1. Если матрица состоит из одного числа: А = (а)_1×1, то определитель матрицы равен этому числу det A = a.

2. Пусть дана квадратная матрица второго порядка из четырех чисел a, b, c, d. Определитель второго порядка вычисляется как разность между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях:

Например, .

3. Определители третьего порядка удобно считать по правилу треугольника. Рассмотрим его схематично (рис. 1.1). Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел. Определителем третьего порядка называется число, определяемое равенством:

Для практики вычислений удобно пользоваться схемой: первые три слагаемые в правой части равенства представляют собой произведения трех элементов определителя, взятых, как показано пунктирами на (рис. 1.1) слева. Чтобы получить следующие три члена, нужно перемножить элементы определителя по три так, как показано пунктирами на той же схеме справа, и взять их с противоположным знаком (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Правило треугольника для вычисления определителя

Пример 1.3. Вычисление определителя по правилу треугольника.

4. Определители высших порядков можно вычислить, раскладывая их по любой выбранной строке или столбцу, сведением к определителям меньших размерностей по формуле: . Суммирование ведется по одному индексу. А_ij называется алгебраическим дополнением к элементу а_ij, это определитель матрицы меньшего порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-го столбца.

Пример 1.4. Вычисление определителя четвертого порядка разложением по первой строке.

= 1 ٠ – 2 ٠ + 2 ٠ – 0٠ =
= 1 ٠(3–18) – 2٠(2+1) + 2٠(–3)= –15 – 6 – 6 = –27.

1.4. Вычислить определители 2-го и 3-го порядков:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

1.5. Вычислить определители матриц (табл. 1.3) разложением по элементам целесообразно выбранной строки (столбца).

Таблица 1.3

№
Матрица	1 0 3 1 0 1 –1 2 2 –1 1 0 –1 0 1 4	2 3 –1 1 1 0 –1 2 0 –3 0 1 1 2 3 0	1 2 2 0 –1 0 1 –3 0 0 –2 1 0 3 1 1	4 6 –2 4 1 2 –3 1 4 –2 1 0 6 4 4 6

Обратная матрица.