Внутренняя энергия реального газа

У идеального газа внутренняя энергия U _ид равна средней энер-гии поступательного, вращательного и колебательного движений его молекул. Внутренняя энергия идеального газа определяется со-отношением

U _ид=	i	ν RT.	(13.4.1)

В случае реальных газов внутренняя энергия равна сумме сред-ней энергии поступательного, вращательного и колебательного дви-жений его молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. С

достаточной степенью точности можно считать, что кинетическая

энергия теплового движения молекул реального газа определяется выражением (13.4.1).

^Креал ⁼ ^Кид ⁼ ^U ид ⁼	i	ν RT.	(13.4.2)

Учтем потенциальную энергию взаимодействия всех молекул. Вклад сил отталкивания в потенциальную энергию определяется по-правкой b, которая считается независящей от Т и V. Поэтому этот вклад во внутреннюю энергию можно не учитывать. Среднее значение энер-гии притяжения равно работе, которую нужно затратить, чтобы разнес-ти все молекулы на бесконечно большие расстояния. Внутреннее дав-ление в уравнении Ван-дер-Ваальса как раз и учитывает действие сил притяжения, поэтому потенциальная энергия взаимодействия равна

∞

П_реал = − А = − _∫ p ⁱ dV = _∫ ν ²

dV = −ν²

(13.4.3)

∞

Полная внутренняя энергия реального газа

= К

+ П

=ν (

ν RT − ν

) =ν C^M RT −

ν a

. 13.4.4)

реал

Из формулы (13.4.4) видно, что внутренняя энергия реального газа зависит не только от температуры, но и от объема. Поэтому для

адиабатического процесса (δ Q = 0), когда dU = − pdV,

жения (13.4.4) получим

ν	C ^M RdT +		ν a	dV	= − pdV.

		V	V

с учетом выра-

(13.4.5)

Отсюда следует, что изменение температуры dT реального газа определяется не только работой сил давления газа при расширении (сжатии), но и изменением потенциальной энергии взаимодействия молекул газа. Этот тепловой эффект проявляется при расширении газа в пустоту, а также в опыте Джоуля − Томсона по дросселированию га-за через пористую перегородку.

13.5. Эффект Джоуля − Томпсона
Этот опыт был проведен Джоулем со-					C
вместно с Томсоном. В соединительную
			T ₁	T 2
трубку между сосудами А и В помещалась

пробка из пористого вещества С (рис. 13.5.1).

Трубка окружалась теплоизолирующим ве-	p ₁					p ₂
ществом. В сосудах А и В давления газа под-		A	B
держивались постоянными. Газ протекал по
трубке с перепадом давлений в месте, где рас-
положена пробка. По обеим сторонам пробки				Рис. 13.5.1
помещались чувствительные термометры.

метры. При этом была обнаружена незначительная разность температур, показываемых обоими термометрами. Для большинства газов темпера-тура с той стороны пробки, куда газ расширялся, была несколько ниже. Для водорода изменение температуры оказалось обратным: при расши-рении водород нагревался. Этот эффект, заключающийся в изменении

температуры газа при расширении (без теплообмена), носит название

эффекта Джоуля − Томсона. Он является следствием отступления

свойств реальных газов от свойств идеального газа. Эффект Джо-

уля − Томсона, сводящийся к охлаждению газа при его расширении, принято называть положительным, а сводящийся к нагреванию − отри-

цательным.

Рассмотрим сущность опыта Джоуля − Томсона. Пусть тепло-

изолированной трубке имеются два поршня (рис. 13.5.2), которые мо-гут перемещаться без трения. Газ, находившийся вначале слева от пе-регородки С и имевший параметры (p ₁, V ₁, T ₁), продавливается через пористую перегородку С с помощью поршня 1 в состояние с парамет-

рами (p ₂, V ₂, T ₂) (p ₁ > p ₂). Так как сосуд теплоизолированный, то про-цесс можно считать адиабатическим. Применим к этому адиабатиче-

скому процессу первое начало термодинамики:

Q = U + A ⇒ U ₂− U ₁=− A. (13.5.1)

Суммарная работа перехода системы из состояния 1 в состояние 2 со-

а Начальное состояние стоит из работы A ₁ =

= p ₁ V ₁ = p ₁(0 − V ₁) =

p ₁= const Газ p ₂= const = − p ₁ V ₁, связанной с

p ₁, V ₁, T ₁ изменением объема от

V ₁до нуля при посто-

1 С 2

янном давлении р ₁, и

работы A ₂ = p ₂ V ₂ =

б Конечное состояние = p ₂(V ₂ − 0) = p ₂ V ₂, свя-

занной с изменением

p ₁ Газ p ₂ объема от нуля до V 2

при постоянном давле-

p ₂, V ₂, T ₂

нии р ₂.

1 С 2 Суммарная рабо-

Рис. 13.5.1 та перехода равна

A = A ₁+ A ₂= p ₂ V ₂− p ₁ V ₁. (13.5.2)

Подставим (13.5.2) в (13.5.1)

U ₂− U ₁= p ₁ V ₁− p ₂ V ₂. (13.5.3)

Какие следствия, вытекающих из условия (13.5.3)? Рассмотрим

два предельных случая.

а) Предположим, что газ находится в таком состоянии, когда

вкладом от сил притяжения можно пренебречь по сравнению со вкла-

дом от сил отталкивания (параметр а = 0, а параметр b ≠ 0). Тогда

уравнение Ван-дер-Ваальса упростится, причем внутренняя энергия

будет содержать только кинетическую энергию

p (V −ν b) =ν RT, U =ν C^M T. (13.5.4)

V

Подстановка выражений (13.5.4) в формулу (13.5.3) приводит к следующему результату

ν C_V^M (T ₂ − T ₁) =ν (R (T ₂ − T ₁) + b (p ₁ − p ₂)) ⇒

T − T = b (p ₁− p ₂) ⇒ T = b (p ₁− p ₂) . (13.5.5)

_C M + R C^M

V p

Поскольку р ₁ > р ₂, то газ нагревается в процессе прохождения через пористую перегородку (T > 0 − отрицательный эффект Джо-

уля − Томсона).

б) Рассмотрим другую ситуацию, когда а ≠ 0, а поправка b = 0. В этом случае

ν ² a ⇒ ν a ;

p + V V =ν RT pV =ν RT −

V

U =ν C^M RT − ν a _. (13.5.6)

V

V

Следовательно, из соотношения (13.5.3) получим

ν C ^M (T − T) − ν ² a − a =ν R (T − T) − ν ² a − a ⇒

V 2 ^V 2

^V 2 ^V 1 ^V 1

⇒ T = 2 a ν (V ₁ − V ₂) ⇒ T = 2 a ν(V ₁ − V ₂) . (13.5.7)

V V (C^M + R) V V C^M

V 1 p

Поскольку при дросселировании V ₂ > V ₁, то T < 0 (газ охлажда-

ется − положительный эффект Джоуля − Томсона).

В случае, когда нельзя пренебречь ни той, ни другой поправкой,

аналогичные преобразования приводят к следующей формуле

T ≈ ν RT ₁ b − 2 a . (13.5.8)

C^M V − ν b V

p

При выводе формулы (13.5.8) предполагалось, что объем V ₂ после дросселирования намного больше, чем V ₁, и поэтому по-правками во втором состоянии можно пренебречь. Выражение в

правой части (13.5.8), определяющее знак величины T,можно

приравнять к нулю и получить уравнение

T ₁= 2 a V ₁ − ν b . (13.5.9)

bR V ₁

Кривая (рис. 13.5.3), построенная по уравнению (13.5.9), разде-ляет плоскость первоначальных состояний V ₁, Т ₁ на две области

(T > 0 и T < 0),в пределах которых наблюдается при дросселирова-

нии либо положительный, либо отрицательный эффект Джо-

уля − Томсона. Совокупность параметров Т ₁ и V ₁, при которых имеет

T ₁ место изменение знака эф-

T > 0 − отрицательный эффект фекта Джоуля − Томсона,

2 a образует кривую инверсии.

bR Положительный эф-

Кривая фект (T < 0) используется в

машинах Дьюара − Линде

инверсии (T = 0) для получения низких тем-

T < 0−положительный ператур и сжижения газов

(переход газ − жидкость).

эффект При этом удается получить

b температуры порядка 70 К

Рис. 13.5.3 ^V ¹ для азота, 20 К для водорода

и 1−4 К для гелия. Для по-давляющего большинства газов температура инверсии выше нормаль-ной температуры. Поэтому, расширяясь при нормальной температуре, газы охлаждаются. Исключение

составляют водород (Т < 193 К) X

и гелий (T < 15 К), которые на- К

греваются, расширяясь при 1

нормальной температуре.

Схема машины Линде 2

представлена на рис. 13.5.4.

Газ, например воздух, сжима-

ется в компрессоре К до дав-

ления порядка 2 · 10⁷ Па и ох-

лаждается в холодильнике X 3

проточной водой. Затем сжа-

тый воздух проходит по внут-

ренней трубке змеевика 3 и

расширяется на ее конце В в

конденсаторе С до давления в

10⁵ Па. При этом он охлажда-

ется примерно на 20 К. Расши- C

рившийся воздух вновь заса-

B

сывается в компрессор по

A

Рис. 13.5.4

внешней трубке 2 змеевика, охлаждая вторую порцию сжатого возду-ха, текущего по трубке. Таким образом, вторая порция газа предвари-тельно охлаждается уже в змеевике на 20 К и затем при расширении в конденсаторе еще на 20 К. Описанный процесс повторяется много-кратно. Каждая последующая порция расширяющегося воздуха будет охлаждаться сильнее предыдущей на 20 К. В результате воздух охла-дится до температуры, меньшей критической. При дальнейшей работе машины часть расширяющегося воздуха будет переводиться в жид-кость и стекать на дно конденсатора. Через кран A жидкий воздух сливается в дьюаровские сосуды для хранения.

В настоящее время все известные газы удалось перевести в жид-кое. Гелий был впервые сжижен Камерлинг - Оннесом в 1908 г. Испаряя жидкий гелий при очень низком давлении, Камерлинг - Оннес достиг температуры в 0,9 К. В последние годы тем же методом достигнута тем-пература в 0,71 К и путем адиабатического размагничивания намагни-ченных тел получена температура ниже 0,1 К.

Для сжижения воздуха, кроме способа Дюара − Линде, употреб-ляется еще способ, основанный на понижении температуры в резуль-тате совершения газом работы против внешних сил. В простейшем виде этот принцип осуществляется в машинах, в которых газ, сжатый до высокого давления, поступает в цилиндр («детандер») с поршнем. Отодвигая поршень, газ совершает против внешних сил работу за счет своей внутренней энергии, что ведет к понижению температуры газа. П. Л. Капица, например, используя этот метод, сконструировал маши-ну для получения жидкого воздуха и других сжиженных газов, в кото-рой охлаждение газа происходит за счет работы вращения турбины.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ

И РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наркевич, И. И. Физика для ВТУЗов / И. И. Наркевич, Э. И. Во-лмянский, С. И. Лобко. − Минск: Новое знание, 2004. – 680 с.

2. Наркевич, И. И. Физика для ВТУЗов: в 2 т. / И. И. Наркевич, Э. И. Волмянский, С. И. Лобко. − Минск: Вышэйшая школа, 1992, 1994. − Т. 1−2.

3. Курс физики: учебное пособие для ВТУЗов: в 3 т. / А. А. Дет-

лаф [и др.]. − М.: Высшая школа, 1987, 1989. − Т. 1−3.

4. Детлаф, А. А. Курс физики: учеб. пособие для студ. вту-зов / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. − М.: Издат. центр «Академия», 2007. − 720 с.

5. Савельев, И. В. Курс общей физики: в 3 т. / И. В. Савельев. −

М.: Наука, 1987. − Т. 1−3.

6. Курс физики: учеб. для вузов: в 2 т. / под ред. В. Н. Лозовско-

го. − СПб.: Изд-во «Лань», 2000. −Т. 1−2.

7. Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. − М.: Выс-

шая школа, 1998. − 542 с.

8. Джанколи, Д. Физика: в 2 т. / Д. Джанколи. − М.: Мир, 1989. −

Т. 1−2.