Идеальная тепловая машина Карно и ее КПД

 

 

мается количество теплоты Q ₂ и отдается во внешнюю среду с темпе-ратурой (Т ₁ > Т ₂) количество теплоты, равное Q ₁. Для оценки эффек-тивности работы холодильной установки используют отношение ко-личества теплоты, отнятого за цикл от холодильной камеры, к работе А внешних сил.Эта величина называется показателем цикла k,или

 

холодильным коэффициентом:

 

k =

Q 2

=

Q 2

.

(12.8.3)

A

Q

− Q

12.9.

p

При

изучении

работы различ-

1

T 1= const

ных тепловых машин большую роль

Q 1

сыграл цикл, предложенный Карно и

2

детально рассмотренный им в 1824 г.

в связи с определением КПД тепло-

4

вых машин. Циклом Карно называют

обратимый круговой процесс, со-

T 2= const

Q 2

3

стоящий из двух изотермических и

V 1 V 4

V 2

V 3 V

двух

адиабатических равновесных

Рис. 12.9.1

процессов.

На рис. 12.9.1

изображен пря-

мой цикл Карно, состоящий из четырех последовательных процессов: 1 − 2 −изотермическое расширение при температуре Т ₁; 2 − 3 −адиаба-тическое расширение (Q ₂₃ = 0); 3 − 4 − изотермическое сжатие при тем-пературе T ₂; 4 − 1 − адиабатическое сжатие (Q ₄₁ = 0).

 

Рассчитаем работу А, совершаемую идеальным газом в прямом равновесном цикле Карно. При изотермическом расширении на уча-стке 1 − 2 внутренняя энергия U (T) = const, поэтому количество тепло-ты Q ₁ полученное газом от нагревателя, равно работе расширения, со-

 

вершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:
Q = Q	= A	=ν RT ln V 2.	(12.9.1)
				V 1

При адиабатическом расширении 2 − 3 теплообмен с окружаю-щей средой отсутствует, и работа расширения А ₂₃ совершается за счет изменения внутренней энергии газа:

 

A 23	= − U 23	= ν CM (T l − T 2).	(12.9.2)
		V

 

 

При изотермическом сжатии на участке 3 − 4 теплота, отданная газом холодильнику, отрицательна и равна

Q = Q

= A

=ν RT ln V 4.

(12.9.3)

V 3

При адиабатическом сжатии на участке 4 − 1 работа A 4l равна

A 41=− U 41=ν CM (T 2– T 1) =−ν CM

(T l − T 2)= − A 23.

(12.9.4)

V

V

Суммарная работа равна

А = А 12+ А 23+ А 34+ А 41= Q 1+ Q 2= Q 1−| Q 2|.

(12.9.5)

Термический КПД цикла Карно

η=

A

=

Q 1−

Q 2

=

T 1ln(V 2

V 1)− T 2ln(V 3 V 4)

.

(12.9.6)

Q

Q

T ln(V

V)

Применим уравнение адиабаты TV γ−1 = const на участках 2 − 3 и

4 − 1 цикла Карно

TV γ−1

= T V

γ−1

и TV γ−1

= T V γ−1.

(12.9.7)

Разделим одно выражение на второе и получим

V 2

= V 3 .

(12.9.8)

V

V

С учетом соотношения (12.9.8) выражение (12.9.6) для КПД

цикла можно упростить:

η= T 1− T 2 .

(12.9.9)

T

Таким образом, для цикла Карно КПД определяется только тем-пературами нагревателя и холодильника.

Сравнение КПД различных обратимых и необратимых цик-лов с КПД обратимого цикла Карно (идеальной тепловой машины) позволило сделать следующий вывод: КПД любого реального об-

 

ратимого или необратимого прямого кругового процесса (тепло-вой машины) не может превышать КПД идеальной тепловой ма-шины с теми же температурами Т ₁ нагревателя и Т ₂ холодильни-

 

ка. Принимая во внимание формулы(12.8.2)и(12.9.9),можно за-писать:

 

Q 1−

Q 2

T

− T

η=

≤

.

(12.9.10)

Q

T

Более общий анализ показывает,что формула(12.9.9)справед-лива, если цикл Карно совершает любое рабочее тело, а не только идеальный газ. В этом случае формула (12.9.9) выражает теорему Карно:КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и оттехнических способов осуществления цикла. Единственные парамет-ры, определяющие КПД этого цикла, − это температуры нагревателя и холодильника. Другая формулировка теоремы Карно: коэффициент полезного действия всех обратимых машин, работающих в идентич-ных условиях (т. е. при одной и той же температуре нагревателя и хо-лодильника), одинаков и определяется только температурами нагрева-теля и холодильника.

 

Обратный цикл Карно служит основой работы идеальной холо-дильной установки. Для холодильного коэффициента k выполняется выражение

k =			Q 2	≤		T 2	.	(12.9.11)
	Q		− Q	T	− T

 

Из этого выражения видно, что чем меньше разность между температурами окружающей среды Т ₁ и холодильной камеры Т ₂, тем больше холодильный коэффициент к и тем эффективнее работа холо-дильной установки. Заметим также, что k = Т ₂ /(Т ₁ − Т ₂) может быть больше единицы и это не противоречит тому, что КПД теплового дви-гателя всегда меньше 1.

 

 

Лекция № 20

 

12.10. Понятие об энтропии. Энтропия идеального газа. Ста-тистическое истолкование второго начала термодинамики.

12.11. Третье начало термодинамики.