Метод расширения понятия состояния

Если процесс немарковский и в нем есть последействие, то это означает, что для вычисления вероятностей будущих состояний мало знать его настоящее состояние, а надо еще знать каким путем он в это настоящее пришел. Т.е. для предсказания будущего, помимо настоящего, надо знать и элементы прошлого, т.к. они оказывают влияние на прогнозируемое будущее. Именно в этом и заключается последействие.

Состояние процесса, в общем случае, описывается с помощью обобщенных координат. Поэтому если в число обобщенных координат, характеризующих настоящее состояние процесса, включить те, которые относятся к необходимым для учета элементам прошлого, то последействия не будет, описание настоящего станет самодостаточным, и описываемый таким образом процесс будет марковским. Естественно, что увеличение числа обобщенных координат может значительно увеличить размерность процесса, но это и есть та необходимая издержка, о которой говорилось выше. В дальнейшем это будет проиллюстрировано на примере двух СМО.

7.2. СМО с детерминированным временем обслуживания

Рассмотрим СМО типа M/D/n/m>. Она отличается от рассматривавшихся выше тем, что время обслуживания всех требований не случайно и равно . Различие это принципиально, ибо из-за него в процессе К(t), изменения числа требований в системе, возникает последействие, и он перестает быть марковским. В самом деле, для того, чтобы спрогнозировать число требований в момент t >t не достаточно знать сколько их было в момент t , а надо еще знать как давно поступили на обслуживание требования, находящиеся в каналах, т.к. от этого зависит, уйдут они к моменту t или нет. В ранее рассматривавшихся СМО такой вопрос не возникал, т.к. экспоненциальное распределение времени обслуживания инвариантно к началу отсчета (не обладает памятью). Таким образом детерминированность времени обслуживания вносит последействие в процесс К(t), и для того, чтобы можно было по-прежнему исследовать СМО, вычисляя вероятности ее состояний, надо, тем или иным образом, описать ее с помощью марковской модели. В данном случае это можно сделать, используя метод вложенных цепей.

Предположим, что в некоторый момент в системе находится к(t ) требований, из которых n обслуживаются, а к-n ожидают в очереди. Спрогнозируем, сколько требований будет в системе через время . С уверенностью можно утверждать, что все требования, находившиеся в каналах, будут обслужены и покинут систему. Их место займут требования из очереди. Если к(t ) > n, то в момент t + все каналы окажутся занятыми, и к(t ) – n требований будут ждать в очереди, т.к. ни одно требование, поступившее в канал на интервале , не успеет обслужиться. Если же к(t ) < n, то в момент

t + занято будет n - к(t ) каналов, и очереди не будет. Таким образом, зная состояние процесса К(t) точке t , можно спрогнозировать его состояние в точке t + , независимо от того каким путем он пришел в к(t ). Иными словами, последовательность состояний процесса К(t), разделенных интервалом , обладает марковским свойством (отсутствие последействия), и может рассматриваться как цепь Маркова, вложенная в процесс К(t). Из приведенных рассуждений ясно, что точками регенерации могут служить элементы любой последовательности состояний разделенных интервалом .Для построения математической модели системы необходимо учитывать, что на интервале число требований изменяется не только за счет окончания обслуживания требований, но также и за счет поступления требований входящего потока. Т.к. этот поток по условию простейший, то последействия в систему он не внесет, но будет увеличивать К(t) на случайные числа распределенные по закону Пуассона: P (x)= () e /x!

Введем вероятность С(t) того, что в момент t в СМО будет не более n требований. Естественно, что все они будут находиться в каналах, и спустя их обслуживание будет закончено, и они уйдут из СМО. Состояние СМО в момент t+ будет определяться исключительно числом требований, пришедших в систему из внешнего потока, часть которых займет каналы обслуживания, а остальные встанут в очередь. При этом ни одно из вновь пришедших требований не успеет обслужиться. С учетом сказанного напишем уравнения для состояний СМО.

С(t) =

P C(t) P(0)

P (t + = C(t) P(1) + P (t) P(0)

P (t+ =C(t) P(2) + P (t) P(1) + P (t) P(0)

……..

P (t + )= C(t) P(k) + P (t) P(k - 1) + …+ P (t) P(1) + P (t) P(0) ( 7.1 )

Входящие в эти формулы вероятности Р(к) вычисляются в соответствии с распределением Пуассона.

В стационарном режиме, когда вероятности состояний не зависят от времени, приведенные уравнения запишутся в виде:

P = C* P P(k - 1) + …+ P P + P P(0) ( 7.2 )