Распределение времени обслуживания

Время обслуживания (Т) – случайная величина, закон распределения которой надо знать для построения модели СМО,. Это основная характеристика механизма обслуживания.

Рассмотрим законы, наиболее употребительные в ТМО.

5.1. Экспоненциальное распределение времени обслуживания

( 5.1 )

 

m = 1/ , D = 1/

 

Основное достоинство экспоненциального распределения в задачах анализа СМО состоит в том, что оно не обладает памятью (не зависит от начала отсчета), и, следовательно, открывает возможности для построения марковской модели СМО.

В этом случае процесс обслуживания должен обладать следующим свойством: чем дольше обслуживание, тем оно менее вероятно. Однако, наличие такого свойства необходимо, но не достаточно. Более строгим является выполнение условия: вероятность того, что обслуживание закончится в произвольный момент t, не зависит от t и равна , где t - малый временной интервал, содержащий t, а . В частности, в задачах исследования надежности подобным свойством обладают так называемые внезапные отказы.

Распределение Эрланга

Это распределение уже было рассмотрено выше (см.4.4.2). Здесь повторим лишь основные положения.

Плотность распределения Эрланга k-го порядка (распределение суммы (k+1) экспоненциально распределенных слагаемых) имеет вид:

, t > 0

(5.2)

Применение для времени обслуживания распределения Эрланга означает, что процесс обслуживания представляется состоящим из «к» независимых этапов распределенных по одинаковому экспоненциальному закону. Таким образом, открывается возможность поиска марковской модели.

С увеличением порядка распределения среднее значение интервала и дисперсия неограниченно нарастают. Во избежание этого можно нормировать Эрланговское распределение, для чего надо с увеличением порядка потока изменять масштаб времени:

 

(5.3)

В нормированном распределении среднее время обслуживания на каждом этапе не зависит от их числа (т.е. интенсивность обслуживания на всех этапах постоянна).

При этом будет уменьшаться с увеличением порядка распределения.

При большой размерности близко к нулю. С увеличением k интервал становиться все более определенным, рассеивание уменьшается, т.е. происходит приближение случайного обслуживания к детерминированному ( 0),.

Нормальное распределение

Часто встречаются ситуации, когда время обслуживания хорошо сгруппировано вокруг среднего значения и отклонения от него распределены симметрично с экспоненциально убывающей плотностью на ветвях. В таких случаях напрашивается использование нормального распределения. Однако, применять его надо с осторожностью. Дело в том, что генерация значений времени обслуживания в соответствии с нормальным законом чревата тем, что возможно появление отрицательных чисел, чего ни в коем случае быть не должно. Отрицательных чисел практически не будет, если среднее время обслуживания в 5-6 раз больше, чем с.к.о.

Вырожденное распределение

Вырожденное распределение означает, что в СМО время обслуживания всех требований детерминировано (не случайно) и равно = const.