Частным случаем дискретного марковского процесса, описываемого уравнениями Колмогорова – Чэпмена, является п роцесс размножения и гибели.
Долгое время он был основным процессом для построения моделей теории массового обслуживания. (ТМО).
Он отличается от рассмотренного выше тем, что в нем допускаются переходы только в соседние состояния.
Пусть К – счетное множество состояний процесса: к = { 0, 1, 2, …, n, … }. Для простоты описания процесса удобно буквой 
обозначать интенсивность перехода в направлении увеличения индекса состояния, а буквой 
- в сторону уменьшения, а самим индексом обозначать состояние, откуда переход производится. Тогда: 
lк-1,к = lк-1 - индекс увеличивается (переход из к-1 в к).
lк+1,к = nк+1 - индекс уменьшается (переход из состояния к+1 в к).
В этих обозначениях уравнение Колмогорова – Чэпмена примет вид:
- общий вид уравнения «процесса размножения и гибели».
Слагаемые правой части говорят, что попасть в состояние «к» возможно тремя путями: из предыдущего состояния (шаг вправо); из последующего (шаг влево); или остаться в том же состоянии. В последнем случае интенсивность возможного ухода из состояния имеет знак минус (см. вывод уравнений Колмогорова-Чэпмена).
Своим названием процесс обязан следующему примеру. Пусть «К» объем (число членов) некоей биологической популяции. l 
- интенсивность рождения нового члена популяции; n - интенсивность гибели одного из членов популяции (обычно, чем больше «к», тем больше l и n , но это не обязательно). Дополнительно предположим, что как рождение, так и гибель, могут произойти в любой момент времени (но не одновременно!), а вероятности этих событий пропорциональны и соответственно. В этом случае динамика случайной величины «К», т.е. случайный процесс К(t), будет описываться вышеприведенным уравнением.
В числе состояний процесса всегда. присутствует нулевое (крайнее слева). Уравнение для него имеет вид:
. (3.6)
В принципе число состояний процесса размножения и гибели не ограничено, но, в целях общности, его можно ограничить, например, числом n (в этом состоянии будет допустимо только уменьшение индекса). Тогда уравнение для второго крайнего состояния (правого) запишется в виде:
(3.7)
Полученные уравнения простой подстановкой решить нельзя, т.к. в правой части 3 неизвестных: Pк-1(t), Pк(t), Pк+1(t). Поэтому для исследование моделей, основанных на этих уравнениях, приходится прибегать к численным методам (см. лабораторную работу №1, «Исследование СМО методом Рунге-Кутта», задача которой определить как скоро наступает стационарный режим).
Если процесс, описывающий систему, неприводим, а состояния ненулевые и непериодические, то в нем существует стационарное или стационарное и эргодическое распределение:
Тогда, если t достаточно велико, то процесс можно рассматривать как находящийся в стационарном режиме: P(t) = P = const, и 
,
Уравнение процесса размножения и гибели в стационарном режиме получит вид:
(3.8)
Для решения этой системы, используем zk–подстановку:
Перепишем уравнение, перегруппировав его:
(3.9)
Следовательно, можно записать:
Таким образом, получили рекуррентное соотношение:
(3.10)
P0 находится из нормирующего условия: сумма вероятностей всех состояний должна быть равна 1. Следовательно:
(3.11)
Верхний предел суммы в выражении (2) зависит от того, является множество состояний процесса конечным или счетным. Если это множество счетное, то возникает принципиальный вопрос о сходимости представленного в (2) ряда.
. Для его решения можно использовать признак Даламбера: если, начиная с некоторого к0, отношение последующего члена ряда к предыдущему меньше единицы, то ряд сходится. В наших обозначениях:
, т.е. начиная с некоторого момента интенсивность «гибели» должна превосходить интенсивность «размножения». В противном случае процесс развивается в сторону неограниченного увеличения «к». Это означает, что нет таких состояний, которые повторялись бы с устойчивой частотой, и стационарного распределения вероятностей состояний в такой системе не существует.
Входящие потоки
Входящий поток – это поток случайных событий (поступление требований). В частном случае он может быть и детерминированным.
Формально, входящий поток можно описать как случайный процесс. (см. рис. 3.)
Здесь Х(t) – число требований, поступивших к моменту t.
Если 1= 
= 
то поток ординарный. В противном случае – это
неординарный поток (требования приходят группами, «пачками»).Для описания входящего потока необходимо знать распределение интервалов между требованиями. Отсюда можно определить среднее число требований за время t; среднюю длину интервалов между требованиями; дисперсию интервалов и т.п., т.е. обычные числовые характеристики.
