Большинство аналитических моделей массового обслуживания опирается на дискретный марковский процесс.
Дискретный марковский процесс отличается от цепи тем, что переход из состояния в состояние может произойти в любой момент времени.
Вместо вероятностей по шагам используются вероятности перехода на интервале t - t:
Pij(t1,t2)=P{X(t2)=j/X(t1)=i}.
Наиболее простые и популярные модели СМО, как правило, основываются на уравнениях Колмогорова – Чэпмена.
Рассмотрим дискретный марковский процесс, обладающий следующим свойством:
- для стационарного процесса,
- для нестационарного процесса,
- интенсивность перехода.
- величина, имеющая порядок малости выше, чем 
(убывает быстрее, чем ); 
,
Процесс, в основание которого положено это свойство, описывается уравнениями Колмогорова – Чэпмена, решая их, можно найти вероятности переходов Pij(t1,t2).
Так как в марковском процессе будущее определяется только настоящим, то
выразим состояние в будущем(t+Dt) через состояние в настоящем (t). Немарковские процессы такого не позволяют.
Рассмотрим вначале, для простоты, стационарный процесс, т.е. процесс, характеристики которого не зависят от времени, и потому начало координат можно поместить в любую точку.
. (3.4)
Разделив обе части этого выражения на Dt, получим:
(3.5)
Осуществим предельный переход (перейдем к пределу 
):
- полученное уравнение носит название уравнения Колмогорова 2-го рода, или «уравнение, обращенное вперед».
Запись уравнения можно упростить:
-суммарная интенсивность выхода из состояния j.
Введем следующее обозначение: 
.
Тогда уравнение примет следующий вид:
.
В правой части стоят вероятности переходов, которые необходимо найти.
Сделаем замечание относительно 
:
В выражении 
, - учитывает принципиальную возможность более одного перехода на малом интервале времени - Dt.
- вероятность 2-х переходов
- вероятность 3-х переходов ит.д.
Чем меньше Dt, тем меньше вероятность того, что совершен более чем один переход и в пределе она равна нулю. Поэтому можно утверждать, что одномоментно возможен только один переход. Такое свойство потока событий называется ординарностью.
Процесс, описываемый приведенными уравнениями Колмогорова – Чэпмена, обладает 3-мя важными свойствами:
1) Марковость (отсутствие последействия);
2) Ординарность (практическая невозможность осуществить одновременно более одного перехода)
3) Стационарность (только для выведенных выше уравнений, когда l, единственная характеристика процесса, была принята не зависящей от времени; если это не так, то аналогичным образом можно вывести уравнения Колмогорова-Чэпмена для нестационарного процесса)
