- Записать характеристическую систему.
- Найти систему п независимых первых интегралов
.
- Построить общий интеграл системы
, где V - произвольная функция. - Найти частное решение, удовлетворяющее условию (9).
Линейное уравнение с частными производными первого порядка может оказаться неразрешимым в окрестности характеристической точки и в том случае, когда каждая характеристика пересекает начальную поверхность 
ровно один раз.
Пример 1. Рассмотрим следующую задачу Коши:
. (10)
Характеристическим векторным полем здесь является постоянное единичное ноле (1, 0), характеристиками — прямые у = С, каждая из которых пересекает кубическую параболу 
ровно в одной точке. Продолжая начальную функцию 
(равную 
на ) постоянной вдоль характеристик, т.е. независимой от х, получаем "решение" 
— функцию, не являющуюся непрерывно дифференцируемой на прямой у = 0.
Возражение, что тем не менее найденная функция имеет частную производную по х и, следовательно, удовлетворяет уравнению, легко снять, сделав в задаче (10) замену переменных 
. После этого поворота (и растяжения осей) получим следующую задачу Коши:
Полученное же "решение" 
не будет иметь частных производных ни по 
ни по 
на прямой 
= 0.
Пример 2. Решим уравнение
. (11)
Составим характеристическое уравнение
.
Найдем два первых интеграла:
первый имеет вид 
, (12)
чтобы найти второй, воспользуемся свойством сложения пропорций 
,
выполним почленное сложение 
в результате получим первый интеграл
или 
. (13)
Общее решение уравнения можно записать в виде
, или 
,
где 
- произвольная функция.
Чтобы решить задачу Коши, подставим в первые интегралы соотношение (11)
.
Исключим здесь 
и установим соотношение между 
, тогда из первого 
, подставим во второе
. (14)
Подставляя в (14) вместо первые интегралы (12), (13) и получим искомое решение задачи Коши.
|
.
|
|
|
|
Построение поверхности в пакете Mathcad:
Численное моделирование процесса распространения
Загрязнения в водоёме без течения
Пример 3. Процесс диффузии примесей в воде или воздухе описывается уравнением диффузии:
,
где f - субъект загрязнения (соль, тепло, нефть, и т.п.). k - коэффициент диффузии, t - время, x - пространственная координата. Такого рода уравнение решается по следующей конечно-разностной схеме:
или 
,
где индекс p - обозначает прошлый слой по времени, а s - следующий; индекс i - обозначает пространственную координату.
|
|
Варианты задач для самостоятельной работы
Для каждого уравнения найти:
- общее уравнение поверхности, используя аналитическую теорию;
- поверхность, проходящую через заданную линию;
- выполнить построение поверхности в трехмерном пространстве;
- составить дискретную модель и применить численное интегрирование;
- провести сравнение численного и аналитического решения.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
Теоретические вопросы, выносимые на экзамен
1. Предмет вычислительной математики. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
2. Численные методы как раздел современной математики. Основные этапы решение задач на вычислительной техники.
3. Роль компьютерно ориентированных численных методов в исследовании сложных математических моделей. Понятие о разветвляющихся программах. Основные блоки. Циклические программы.
4. Действия с приближенными числами (абсолютная и относительная погрешности) Основная задача теории погрешностей.
5. Обратная задача теории погрешностей.
