Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Перечислим этапы применения метода итераций для получения корней нелинейных уравнений.

1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения на заданном отрезке.

2. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения на указанном отрезке.

3. Реализовать построенные итерационные процессы с использованием возможностей Mathcad.

Продемонстрируем выполнение некоторых этапов решения нелинейного уравнения на отрезке .

1. Воспользуемся графическим методом для отделения корня и докажем его единственность для нелинейного уравнения. Из графика функции на первом графике видно, что функция пересекает ось в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения. Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение к виду и построим два графика и , имеющих более простой аналитический вид. Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня. Заметим, что графический метод показывает количество корней исходного уравнения, но не доказывает единственность корня на отрезке.

Аналитический метод. Функция непрерывна на отрезке , имеет на концах отрезка разные знаки, а производная функции не меняет знак на отрезке (). Следовательно, нелинейное уравнение имеет на указанном отрезке единственный корень.

2. Метод простых итераций. Для построения рабочей формулы перепишем уравнение в виде: . Проверим, выполняется ли достаточное условие сходимости на отрезке:

(1)

Если условие выполняется, то итерационный процесс строится по формуле

Заметим, что в точке из отрезка , значение .

Построим функцию . Константа с выбирается из условия (1). Если производная , то значение с выбирается из интервала , если производная , то – из интервала . Так как всюду положительна на отрезке, то, конкретизируя значение производной в любой точке отрезка (например ), значение с определяется из интервала . Выбрав значение , запишем рабочую формулу метода простых итераций:

(2)

Итерационный процесс (2) можно начать, задав произвольное начальное приближение . Процесс (2) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значение является приближенным значением корня нелинейного уравнения на отрезке .

3. Метод Ньютона. В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:

(3)

Заметим, что в точке условие (3) не выполняется, а в точке - выполняется.

Следовательно, в качестве начального приближения выбирается точка . Рабочая формула метода Ньютона для данной задачи запишется так:

(4)

Условия выхода итерационного процесса (4) аналогичны условиям метода простых итераций.

4. Модифицированный метод Ньютона. Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е. . Рабочая формула модифицированного метода Ньютона для данной задачи запишется так:

(5)

Условия выхода итерационного процесса (5) аналогичны условиям метода простых итераций.

Замечание: для того, чтобы сделать вывод о скорости сходимости методов, необходимо в каждом методе выбирать одинаковое начальное приближение.

Теоретические вопросы, выносимые на обсуждение

1.Какие команды обеспечивают выполнение символьных опера­ций, которые позволяют упрощать математические выражения, содер­жащие алгебраические и тригонометрические функции, а также выра­жения со степенными многочленами.

2.Что означает упрощение.

3.С помощью какой команды мож­но выполнять символьные вычисления производных и определенных интегралов, заданных соответствующими операторами.

4.Дайте определение производной функции одной переменной.

5.Если речь идет о вычислении численного значения производной, то как оно про­изводится.

6.В чем заключается геометрический смысл производ­ной.

7.Если функции имеют разрывы в точках, то возможно ли определение производных в этих точках, и если да, то какие они.

8.Дайте определение производной второго порядка.

9.Как определяются производные третьего, четвертого и т. д. порядков, словом, производные высшего порядка.

10. Как выполняется взятие производной от функции f (х) в системе Mathcad в символьном виде.

11. Если заданы функции нескольких переменных f (х, у, z,...), то в этом случае о каких производных может идти речь.

12. С помощью каких команд возможно вычисление производных, как первого, так и высшего порядков.

13. В чем заключается геометрический смысл определен­ного интеграла.

14. Дать определение первообразной функции f (x).

15. Сколько первообразных существует для одной и той же функции f (х).

16. Как из одной интегральной кривой можно получить остальные.

17. С помощью каких команд возможно вычисление значений определенных интегралов приближенным численным мето­дом.

18. Как выполняется взятие неопределенного интеграла в системе Mathcad в символьном виде.

19. С помощью какой команды возможно раз­ложить выражение по степеням простого аргумента.

20. В каком случае команды Symbolics ► Expand и Symbolics ► Simplify являются взаимно обратными.

21. Что происходит при преобразовании выражений командой Expand.

22. С помощью какой команды можно разложить выраже­ние или число на простые множители.

23. Что происходит при применении команды Symbolics ► Factor к полиному.

24. В чем заключается операция факторизации.

25. Как в Mathcad записывается разложение числа на простые множители.

26. В чем заключается операция Symbolics ► Collect.

27. Какая команда используется, если необходимо функцию ряда переменных представить в виде функции заданной переменной, имеющей вид степенного многочлена. Как при этом представлены другие переменные, входящие в заданную функцию.

28. Всегда ли комплектование функции нескольких переменных по базису указанной переменной возможно, и если нет, то, как об этом сообщает система Mathcad.

29. С помощью какой команды можно осуществлять подстановку вместо указанной переменной некоторое другое выражение.

30. Как выполняется подготовка к выполнению операции Symbolics ► Variable ► Substitute.

31. С помощью какой команды можно разложить выражение в ряд Тейлора относительно выделенной переменной с заданным по зап­росу п числом членов ряда.

32. Запишите ряд Тейлора.

33. В каком случае разложение в ряд называется рядом Маклорена.

34. Запишите ряд Маклорена.

35. Сколько членов по умолчанию выдает команда Symbolics ► Variable ► Expand to Series.

36. Как определить остаточную по­грешность.

37. Как можно вычислить определенный интеграл, который не бе­рется в явном виде.

38. Каким численным методом, встроенным в системе Mathcad, вычисляется значение определенного интеграла.

39. Как можно вычислить неопределенный интеграл, который не бе­рется в явном виде.

40. Опишите процедуру взятия неопределенного интеграл с помощью ее разложения в ряд Тейлора и команды Simplify.

41. В чем заключается и когда применяется операция Symbolics ► Variable ► Solve.

42. В чем заключается операция Paste ► Edit.

43. В каком виде записывается результат после действия операции Paste ► Edit.

44. Перечислить этапы исследований в методе итераций для получения корней нелинейных уравнений.

45. Как используется графический метод для выделения корней нелинейного уравнения.

46. Можно ли графическим методом доказать единственность корня на отрезке.

47. Перечислите этапы аналитического метода выделения корней нелинейного уравнения и доказательства его единственности на отрезке.

48. Запишите формулу итерационного процесса.

49. Как определяется начальное значение для итерационного процесса.

50. Когда итерационный процесс завершается.

51. Запишите формулу итерационного процесса в методе Ньютона.

52. Какое достаточное условие должно выполняется, чтобы имела место сходимость метода Ньютона.

53. Как определяется начальное значение для метода Ньютона.

54. В чем заключаются условия выхода из итерационного процесса Ньютона.

55. В чем отличие итерационного процесса Ньютона от модифицированного метода Ньютона.

56. Как произвести сравнительную оценку о скорости сходимости используемых методов.

Задания к вариантам для самостоятельных работ

I Упросить:

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.

II Разложить подынтегральную функцию в ряд Тейлора и вычислить определенный интеграл. Сравнить полученное значение со значением определенного интеграла вычисленного без использования разложения подынтегральной функции в ряд.

1.	2.	3.	4.	5.
6.	7.	8.	9.	10.
11.	12.	13.	14. .

 

III Найти все корни уравнения, изобразить функцию на координатной плоскости и указать месторасположение корней

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.

 

IV Разложить функцию по простому аргументу х:

1. tg5 x	2. sin6 x	3. cos5 x	4. sin8 x	5. ctg7 x	6. ctg4 x	7. tg5 x
8. cos7 x	9. sin7 x	10. tg4 x	11. cos9 x	12. tg7 x	13. sin9 x	14.

V Вычислить пределы:

1. а). ; б).	2. а). ; б). .
3. а). ; б).	4. а). ; б).
5. а). ; б).	6. а). ; б).
7. а). ; б).	8. а). ; б).
9. а). ; б).	10. а). ; б).
11. а). ; б).	12. а). ; б).
13. а). ; б).	14. а). ; б).

VI Вычислить неопределенный интеграл и производную подынтегральной функции

1.	2.	3.	4.
5.	6.	7.	8.
9.	10.	11.	12.
13.	14.

VII Определить количество корней исходного нелинейного уравнения графическим методом. Доказать аналитическим методом единственность корня исходного нелинейного уравнения на указанном отрезке. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска корня на отрезке методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона. Провести вычислительный эксперимент и решить уравнение с точностью и . Сделать сравнительный вывод о скорости сходимости всех трех методов.

1.			2.
3.			4.
5.			6.
7.			8.
9.			10.
11.			12.
13.			14.

 

Практическое занятие № 5