Напомним, что функция 
называется возрастающей на интервале 
, если для любых двух точек 
из неравенства 
следует, что 
; убывающей на интервале , если из неравенства следует, что 
;
Экстремум функции
Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Достаточные условия экстремума
Пусть задана z =z (x,y), (x,y) 
D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:
Если:
Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.
Необходимые условия экстремума
Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0 D - точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z'x и z'y, то
Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
50.=33.
Выпуклость и вогнутость
График функции y = f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).
52=46
Необходимое условие точки перегиба
Теорема. Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Для того, чтобы точка М(x 0, f (x 0)) была точкой перегиба графика функции y = f (x) необходимо, чтобы f " (x 0) = 0.
Достаточное условие точки перегиба
Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f "(x) в некоторой достаточно малой окрестности точки x 0 интервала (a, b), за исключением, быть может самой точки х 0, а график функции имеет касательную в точке С = (х 0, f (x 0)). Если при переходе через точку х 0 вторая производная f "(x) меняет знак, то точка С является точкой перегиба графика функции y = f (x).
53.=46
Вертикальная асимптота — прямая вида 
при условии существования предела 
.
Горизонтальная асимптота — прямая вида 
при условии существования предела
Наклонная асимптота — прямая вида 
при условии существования пределов
1. 
2. 
Исследование схема
