Если функция 
дифференцируема при всех 
, то мы можем рассмотреть функцию 
, сопоставляющую каждой точке 
значение производной 
. Эта функция 
называется производной функции 
, или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда 
.) Функция 
, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала 
, которую мы обозначим 
и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная 
существует во всех точках , то она может также иметь производную 
, называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, 
-й производной функции называется производная от предыдущей, 
-й производной 
:
Теорема Ролля
Если вещественная функция непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференцируема на интервале (a; b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю
Теорема Лагранжа (обобщение теоремы Ролля)
y = f (x) – непрерывна при х Î [ a; b ] и
дифференцируема при х Î (a; b) Þ
$ c Î (a; b): 
Теорема Коши
Пусть даны две функции 
и 
такие, что:
1. и определены и непрерывны на отрезке 
;
2. производные 
и 
конечны на интервале 
;
3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале
4. 
;
тогда
, где 
(Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале (a, b).)
Доказательство
Для доказательства введём функцию
|
Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f (a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а 
равна как раз необходимому числу.
Лагра́нжа о среднем значении
утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференцируема в интервале (a; b), то найдётся такая точка 
, что
.
Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [ a; b ] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.
Исследование функции
Пусть дана функция . Для её исследования нужно:
1). Найти её область определения 
. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений 
. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)
2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси 
), не является ли она периодической.
3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.
