Производная показательной функции

Пусть

где a – положительное число, u – дифференцируемая функция x. Найдём производную y по x. Прологарифмируем обе части равенства по основанию e: ln y = u ln a. Дифференцируя это равенство по x и учитывая, что ln y – сложная функция, а ln a – постоянный множитель, получим

или

Подставив в последнее равенство

окончательно находим

Производная логарифмической функции

Производная функции y = ln x существует и выражается формулой

(15)

В случае сложной логарифмической функции y = ln u, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (15) примет вид

(16)

Пользуясь формулой (16), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

На основании свойств логарифмов имеем

Так как

- постоянный множитель, то

или

38.

Производные элементарных функций:

Функция	Производная
f(x) = C, C ∈ R	0 (да-да, ноль!)
f(x) = xn	n · xn − 1
f(x) = sin x	cos x
f(x) = cos x	− sin x
f(x) = tg x	1/cos2 x
f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
f(x) = ln x	1/x
f(x) = loga x	1/(x · ln a)
f(x) = ex	ex

Производная сложной функции

Пусть функция f: [ a, b ] → [ c, d ], а функция g:[ a ₁, b ₁] → [ c ₁, d ₁], причём [ a ₁, b ₁] [ c, d ]. Если функция f дифференцируема в точке х ₀ [ a, b ], а функция g дифференцируема в точке y ₀ = f (x ₀) [ a ₁, b ₁], то сложная функция F (x) = g (f (x)) имеет в точке х ₀ производную, равную

g ' (f (x ₀))· f ' (x ₀).

Показательно-степенная функция

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = u^v, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f (y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f' (y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f^--1 (x) имеет производную [ f^--1 (x)] ', причем

или

 

Производные обратных тригонометрических функций

 

Производная функций заданных неявно

Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0, F(x,y) — дифференцируемая функция и F ' _y(x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'_x(x, y) / F'_y(x, y).

Производная функций заданных параметрически

формула производной параметрически заданной функции

Дифференциал функции

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f’(x)dx.

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v)’dx = u’dx ± v’dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)’dx = (u’v + v’u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)