Свойства функций непрерывных на промежутке

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M £ f(x) £ M.

 

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀.

 

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m, f(x₂) = M, причем

m £ f(x) £ M

 

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

 

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

 

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак.

 

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

 

Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х₀: f(x₀) = 0.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность

Доказательство. Если , то

,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δ x →0. Но тогда

Δ y = f '(x ₀) Δ x +αΔ x => Δ y →0 при Δ x →0, т.е f(x) – f(x ₀ ) →0 при x → x ₀, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x ₀. Что и требовалось доказать.

Производная функции в точке

Определение. Производной функции f в точке х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение

 

при Δх, стремящемся к нулю.

Производная функции f в точке х₀ обозначается f`(х<sub>0</sub>)
Функцию, имеющую производную в точке x<sub>0</sub>, называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D<sub>1</sub> - множество точек, в которых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому x∈D<sub>1</sub> число f`(x), получим новую функцию с областью определения D₁. Эта функция называется производной функции y=f(x) и обозначается f` или y`.

Нахождение производной данной функции f называется диффиренцированием