Основные определения. Частные производные. Дифференциалы

Представление о функции нескольких переменных могут дать простые примеры. Площадь прямоугольника S = xy. Если длины сторон х и у рассматривать как независимые переменные, то S – функция этих переменных. Площадь треугольника (х и у – стороны треугольника, j – угол между ними) можно рассматривать как функцию трех независимых переменных.

Если каждой паре значений независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области D соответствует определенное значение величины z, говорят, что z есть функция независимых переменных х и у, определенная в области D. Символическая запись: z = f(x, y), j(x, y) и т.д.

Областью определения D функции называют совокупность значений х и у, при которых функция z = f(x, y) существует. Геометрически это некая совокупность точек плоскости хОу, в простейшем случае часть ее, ограниченная замкнутой кривой (точки этой линии могут принадлежать (замкнутая), или не принадлежать (открытая) области определения). Геометрическое представление функции z = f(x, y) – поверхность в трехмерном пространстве. (Простейший случай – плоскость, уравнение которой можно представить в виде:

z = py + qx + t, (см. (1.54)).

Аналогично определяется функция произвольного числа переменных (исключая вопрос о геометрической интерпретации). Далее, без потери общности, будем рассматривать функцию двух переменных.

Наглядное представление о геометрической интерпретации функций двух и трёх независимых переменных z=f(x,y) и u=f(x,y,z) могут дать линии и поверхности уровня соответственно. Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия f(x,y) = с на плоскости хОу, в точках которой функция сохраняет постоянное значение. Примеры: линии уровня на географических картах, позволяющие получить представление о рельефе местности, изобары и изотермы в физике и метеорологии и т.д.

Поверхностью уровня функции u=f(x,y,z) называется поверхность f(x,y,z)=с, в точках которой функция сохраняет постоянное значение u = с. Позволяют, например, получить представление о распределении (поле) температур в части пространства (материальном теле).

Если одной из независимых переменных дать некоторое приращение, то, в общем случае, получит приращение и функция. Величины: D_xz = f(x + Dx, y) – f(x, y) и D_уz = f(x, у +Dy) – f(x, y) называют частными приращениями функции.

Величина Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) (обе независимых переменных получают приращения Dх и Dу) называется полным приращением.

Окрестностью радиуса r точки М₀(х₀, у₀) называют совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенству (всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке М₀).

Пусть дана функция z = f(x, y) определенная в области D, и точка М₀(х₀, у₀), лежащая в области D или на ее границе.

Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для всякого e > 0, найдется такое r > 0, что для всех точек М(х, у), для которых выполняется неравенство ММ₀ < r, справедливо неравенство |f(x, y) – A| < e. Символическая запись: . Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если , причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом, оставаясь в области определения функции. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, непрерывна в области.

Частной производной по х от функции z = f(x, y) называется предел отношения частного приращения D_хz к приращению Dх при Dх ® 0, т.е.

Аналогично определяется частная производная по у:

Вычисляются производные по каждой переменной с помощью известных уже приемов, причем другая переменная полагается постоянной.

Рассмотрим полное приращение функции Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) в предположении, что функция f(x, y) в точке х, у имеет непрерывные частные производные.

Аналогично тому, как это было сделано для функции одной переменной, полное приращение можно представить в виде: (1), где g₁ и g₂ стремятся к нулю, если Dх и Dу стремятся к нулю.

Сумма первых двух слагаемых линейна относительно Dх и Dу и при z`_x ¹ 0 и z`_y ¹ 0 представляет собой главную часть приращения, отличаясь от Dz на бесконечно малую высшего порядка относительно Dх и Dу. Такая функция называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается dz или df.

Таким образом, если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал dz = f_х` (x, y) Dx + f_у`(x, y) Dy (4.1)

или (4.1`), где dx = Dx и dy = Dy называют дифференциалами независимых переменных. Как и в случае функции одной переменной, дифференциал можно применить для приближенного вычисления функции с помощью равенства, легко получаемого из (1):

(4.2)

(с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Dх и Dу).

Производные сложной и неявной функций

Пусть z = F(u, v), где u = f(x, y) и v = j(x, y). Функция F(u, v) – сложная функция двух независимых переменных. Предположим, что функции F(u, v), f(x,y) и j(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Можно показать, что в этом случае частные производные от функции F(u, v) по х и у определяются выражениями:

(4.3)

Если функция двух независимых переменных задана уравнением F(x, y) = 0 (2) (неявная функция), причем функции F(x, y), F_x`(x, y) и F_y`(x,y) непрерывны в некоторой r окрестности точки (х, у), координаты которой удовлетворяют уравнению (2), а F_y`(x,y) ¹ 0 в этой точке, то функция у от х имеет производную (4.4).

В случае неявной функции трех независимых переменных, заданной уравнением F(x, y, z) = 0 (2`) аналогичные соотношения позволяют найти частные производные функции z(x, y), определяемой уравнением (2`):

(4.4`).

Пример: найти частные производные неявной функции х² + у² + z² – R² = 0. Используя (4.4`) получим .

Производные и дифференциалы высших порядков определяются, по сути, так же, как и для функции одной переменной.

Вторые частные производные (частные производные от частных производных) обозначаются: (4.5). (4.5`)

(4.5``) (4.5```)

В (4.5) функция дважды дифференцируется по х, в (4.5') - сначала по х, потом по у, в (4.5")- сначала по у, потом по х и в (4.5"')- дважды по у.

Аналогично находятся производные высших порядков, обозначаемые , где n – номер порядка, р – число дифференцирований по х, а n – p число дифференцирований по у. Отметим, что если функция z = f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и некоторой ее окрестности, то в этой точке .

Это же утверждение, при выполнении соответствующих условий, справедливо для производных любых порядков т.е. и для функции любого числа переменных, например т.е. смешанные производные, отличающиеся лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны.

Дифференциалом второго порядка от функции z = f(x, y) называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е.

(4.6).

Аналогично может быть найден дифференциал произвольного порядка

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0. Прямая называется касательной к поверхности в точке М₀(х₀, у₀, z₀), если она является касательной к какой – либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку М₀. Если в точке М₀ все три производные F_x`, F_y`, F_z` равны нулю или хотя бы одна из них не существует, то точка М₀ называется особой точкой поверхности. Если в точке М₀ все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М₀ называется обыкновенной точкой поверхности. Можно показать, что все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в точке М₀. (В особых точках поверхности касательная плоскость может не существовать).

Касательная плоскость перпендикулярна вектору и её уравнение имеет вид F_x`(x - x₀) + F_y`(y - y₀) + F_z`(z -z₀) = 0 (4.7).

Если уравнение поверхности задано в виде z = f(х, y), то уравнение касательной плоскости примет вид: z - z₀ = f_x`(x - x₀) + f_y`(y - y₀) (4.7`).

Прямая, проведенная через точку М₀(х₀, у₀, z₀) поверхности перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Ее направление определяется вектором `N и канонические уравнения примут вид:

(4.8),

а если уравнение поверхности задано в виде z = f(x, y), то

Рис. 4.1

(4.8`).

Обсудим геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции z = f(x, y) (F(x, y, z) = 0). Проведем через точку Р(х₀, у₀, z₀) плоскость х = х₀. В сечении ее поверхностью (рис. 4.1) получим линию. Если дать приращение Dy = MN = PТ` переменной у (при неизменном х), функция получит приращение D_yz = TT`. Очевидно, предел , где b – угол, образуемый касательной PВ к кривой PТ в точке Р₀ с положительным направлением оси Оу. Аналогично, , где a – угол, образуемый касательной к сечению поверхности z = f(x, y) плоскостью у = у₀ с положительным направлением оси Ох. Если в (4.7') положим х –х₀ =Dх, у – у₀ = Dу, то оказывается, что правая часть ее – полный дифференциал функции z = f(x, y) и z – z₀ = dz, т.е. полный дифференциал функции двух переменных в точке М(х, у), соответствующий приращениям Dх и Dу независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты z плоскости касательной к поверхности z = f(x, y).