Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора

Приведем (без доказательств) несколько теорем, утверждения которых играют большую роль в аппарате дифференциального исчисления.

1. Теорема Ролля о корнях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (а, b) и f(a) = f(b), то в интервале (а, b) найдется хотя бы одно значение х = x, при котором f `( x) = 0. Если f(a) = f(b) = 0 (частный случай), то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной. Геометрическое истолкование: если непрерывная на отрезке [a, b] кривая имеет в каждой точке касательную, не параллельную оси Оу, и равные ординаты в точках а и b, то найдется по крайней мере одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная к кривой параллельна оси Ох (tg a = f `(x) = 0).

2. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х = x, при котором выполяется равенство f(b) – f(a) = (b – a) f `( x).

Геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой у = f(x) имеющей в каждой точке касательную не параллельную оси Оу найдется хотя бы одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная параллельна хорде АВ.

3. Теорема Коши (об отношении приращений двух функций): Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b), причем j`(x) ¹ 0, то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х = x (a < x < b) такое, что . Теорема Коши позволяет доказать два важных для решения задач теории пределов утверждения, известных под названием правила Лопиталя.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и j(x) на некотором отрезке [a, b] удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль точке а т.е.

f(a) = j(a) = 0; тогда, если существует , то существует и , причем . Это правило позволяет во многих случаях раскрыть неопределенности вида 0/0 (такие, например, как первый замечательный предел), причем: а) теорема справедлива и в случае, когда f(x) и j(x) неопределены при х = а, но и ; б) если f `(a) = j`(a) = 0, а функции f `(x) и j`(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши, то, применяя правило Лопиталя дважды, получим ; в) процедура (при выполнении соответствующих условий) может быть повторяема до получения результата.

Правило справедливо и в случае и .

Теорема 2. Пусть функции f(x) и j(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши при всех х ¹ а в окресности точки а, и , и пусть существует предел . Тогда существует и предел , причем

(3.28).

Это правило позволяет раскрывать неопределенности вида . Оно справедливо и в случаях: а) А = ¥; б) х ® ¥.

Во многих случаях это правило позволяет раскрыть неопределенности и других видов, применив предварительно те или иные преобразования. Так, неопределенности вида 0 × ¥ или ¥ – ¥ приводят к виду или путем алгебраических преобразований данной функции; в случае неопределенности вида 0⁰, ¥⁰, или 1^¥ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры: 1. Неопределенность вида (∞-∞): (неопределенность вида , применяем правило Лопиталя). = (;правило Лопиталя) =

2. Неопределенность вида 0⁰: . Обозначим . Прологарифмируем обе части равенства (неопределенность вида ∞·0) = (; правило Лопиталя) = (; правило Лопиталя) = ; ; ℮⁰=1 т.е. ;

Формула Тейлора. Нередко вычисление значений функции y = f(x) при конкретных значениях х оказывается затруднительным. Один из эффективных приемов в этом случае – замена функции степенным многочленом (полиномом) вида: P_n(x – a) = C₀ + C₁(x – a) + C₂(x – a)² + … + C_n(x – a)ⁿ (1) значение которого при х = а равно значению функции f(а). Если функция y = f(x) дифференцируема (n + 1) раз в некоторой окрестности точки а, то коэффициенты С_i можно определить так: потребуем, чтобы в точке а выполнялись условия , т.е. чтобы в точке а были равны значения соответствующих производных. Получим:

f(а)= C₀; f `(a) = C₁; f ``(a) = 2C₂ = C₂ ×2! ……; f⁽ⁿ⁾(a) = C_n × n!

где n! = n(n –2)(n –3) … (n – k) … 3 × 2 × 1 (символ n! называется n – факториал). Отсюда легко находятся все (3.29).

Подставив в (1) получим: (3.30)

Очевидно, что совпадая при х = а, в других точках значения f(х) и Р_n(x) отличаются. Обозначив это отличие через R_n(x) = f(x) – P_n(x) получим:

(3.31)

Величину R_n(x) называют остаточным членом. Для значений х, при которых остаточный член мал, многочлен Р_n(x) дает приближенное значение f(x). Оценить величину R_n(x) при различных х позволяет выражение

, где a < x < x (3.32).

(Форма Лагранжа для остаточного члена). Величину x можно представить в виде: x = а + q(х – а), где 0 < q < 1 и тогда (3.32) примет вид

(3.32`)

(Очевидно, что, если х расположено в достаточно малой окрестности а. величина R_n при достаточно большом n может быть достаточно мала, чтобы обеспечить требуемую точность).

Выражение (3.31), называется формулой Тейлора. Частный случай ее при а = 0 (3.31`)

где , 0 < q < 1 называется формулой Маклорена. Используя правила дифференцирования, несложно получить разложения многих функций по формуле Маклорена. Приведем некоторые из них:

(3.33)

(3.34)

(3.35)

Формула Тейлора может быть применена и для раскрытия неопределенностей вида и . Функции в числителе и знаменателе дроби «раскладываются» по формуле Тейлора и, после некоторых преобразований, предел вычисляется.

сокращается; все члены сумм в числителе и знаменателе содержание х (включая остаточные члены в (3.34) и (3.35)) в пределе равны нулю) = 1.

Пример: