Исследование функций с помощью производных

5. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей) и найти области возрастания (убывания) функции можно, используя теоремы:

Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b] возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] неотрицательна, т.е. f `(x) ³ 0.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), причем f `(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если f(x) убывает на отрезке [a, b], то f `(x) £ 0 на этом отрезке.

Если f `(x) < 0 в интервале (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Полагаем, что f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b).

Геометрическая интерпретация: если функция возрастает, то касательная к ее графику образует острый угол с осью Ох; если функция убывает – угол наклона касательной – тупой.

5. Экстремумы. Говорят, что функция f(x) имеет максимум (max) в точке х₀, если значение функции в этой точке больше, чем значения во всех точках малой окресности ее, т.е. если при достаточно малом h > 0 выполняются неравенства: f(x₀ – h) < f(x₀) и f(x₀ + h) < f(x₀).

Функция f(x) имеет минимум (min ) в точке х₀, если значение функции в этой точке меньше, чем значения во всех точках малой окрестности ее, т.е. если при достаточно малом h > 0 выполняются неравенства:

f(x₀ – h) > f(x₀) и f(x₀ + h) > f(x₀).

Максимум (минимум) функции называется ее экстремумом. Точки максимума (минимума) – точками экстремума функции.

Рассмотрим метод отыскания экстремумов.

Необходимое условие существования экстремума можно сформулировать так: Если функция f(x) в точке х₀ имеет экстремум, то производная f `(x₀) обращается в нуль или не существует.

Это означает, что функция может иметь экстремум только в этих точках, но может и не иметь его в них. Точки эти (в которых производная равна нулю или не существует) называются критическими точками первого рода.

Достаточное условие экстремума можно сформулировать так:

Если х₀ – критическая точка функции f(x) и при произвольном достаточно малом h > 0 выполняется неравенство f `(x₀ – h) > 0, f `(x₀ + h) < 0, то функция f(x) имеет в точке х₀ максимум; если f `(x₀ – h) < 0, a f `(x₀ + h) > 0, то функция f(x) в точке х₀ имеет минимум. (Если знаки f `(x₀ – h) и f `(x₀ + h) одинаковы, то функция f(x) в точке х₀ экстремума не имеет). (Наличие экстремума можно определить и с помощью второй производной. Если , a то в точке имеет экстремум- max, если и min, если .)

Отметим, что: а) функция, определенная на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка; б) экстремум функции не обязательно является наибольшим (наименьшим) значением функции на рассматриваемом отрезке.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке [a, b] можно отыскать, выбрав их из значений функции на концах и в критических точках внутри этого отрезка.

4. Выпуклость и вогнутость графика функции.

Говорят, что кривая y = f(x) выпукла на интервале (a, b), если все точки ее лежат ниже любой ее касательной, проведенной на этом интервале, (вогнутой – если все ее точки лежат выше любой касательной, проведенной на этом интервале). Условия выпуклости (вогнутости) графика функции на интервале (a, b) можно сформулировать так: Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f ``(x) < 0, то кривая y = f(x) на этом интервале выпукла; если вторая производная положительна, т.е f ``(x) > 0 – кривая вогнута.

Выпуклость и вогнутость графика функции наглядно иллюстрируются удобным для запоминания “ правилом дождя ”, поясняемым рис. 3.3. Заключается оно в следующем: если вторая производная отрицательна, то говорят, что “ нет дождя ” – случай а) на рисунке, кривая y₁ = f₁(x) – выпукла, «струи дождя» скатываются с выпуклой кровли и под ней сухо.

Рис. 3.3

Если вторая производная положительна, то говорят, что «есть дождь» – случай б) на рисунке – кривая y₂ = f₂(x) вогнута и «струи дождя» собираются в чаше.

Точка, отделяющая вогнутую часть графика от выпуклой, называется точкой перегиба. Можно доказать справедливость утверждения: Если f ``(а) = 0 или f ``(a) не существует и при переходе через значение х = а, f ``(x) меняет знак, то точка кривой y = f(x) с абсциссой х = а есть точка перегиба.

В этой формуле объединены необходимое (равенство нулю или «несуществование» второй производной в некоторой точке) и достаточное (перемена знака второй производной) условия наличия точки перегиба.

Точки, в которых выполняются указанные необходимые условия, называются критическими точками второго рода.

Отметим, что интервалы выпуклости и вогнутости могут быть разделены и точкой разрыва функции, не являющейся точкой перегиба.

5. Асимптоты. Прямая L называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х, у) кривой от прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если или (подразумевается, что исследуются и левый и правый пределы, т.е. и ).

Прямая у = b является горизонтальной асимптотой кривой y = f(x), если существует предел или .

Ри.3.4

В общем случае кривая может иметь и наклонную асимптоту, уравнение которой можно записать в виде y = kx + b. Определим значения k и b с помощью рис.3.4 М(х, у) – точка на кривой, N(x, y) – точка на асимптоте. Отрезок МР – расстояние от точки М до асимптоты. По определению . Из треугольника MNP определим . Т.к. j = arctg к – постоянная,

то и . Но NM = |y – `y| = |f(x) – . При постоянном b , и, следовательно, , откуда . Зная k находим b: . Т.о. прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы (3.36) и (3.37)

или (3.36`) и (3.37`).

(Если хотя бы один из каждых двух пределов не существует, то кривая наклонных асимптот не имеет).

Рекомендуемая схема построения графиков по характерным точкам:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти (если они существуют) точки разрыва и установить характер разрыва; найти асимптоты кривой.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

Отметим, что иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из особенностей функции. Может быть пополнен и перечень исследуемых характеристик (например вопросом о периодичности функции).

Тесты

1.22. Функция возрастает на интервале: