Предел. Непрерывность функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

(образован в 1953 году)

Кафедра физики и высшей математики

Дистанционное

Обучение

Физ. мат.-6.22.2701 зчн.плн.

Физ. мат.-6.22.2701 очн.плн.

Физ. мат.-6.22.2701 зчн.скр.

Гофман В.Г.

Математический анализ

Учебно-практическое пособие

Для студентов специальности 2202

Всех форм обучения

Часть 1

Www.msta.ru

Москва 2004 4084

УДК 17

Гофман В.Г. Математический анализ. Учебно-практическое пособие. М., МГУТУ, 2004.

Учебно-практическое пособие предназначено для студентов специальности 2202 всех форм обучения МГУТУ. При полном соответствии программе курса акцент сделан на сообщении студентам сведений, необходимых для практического применения математического аппарата в профессиональной деятельности. Предполагается, что доказательства некоторых теорем, и выводы части расчетных соотношений могут быть, при необходимости, разобраны по рекомендуемой литературе. Приведены необходимые графические иллюстрации и примеры решения типовых задач.

Автор: Гофман В.Г.

Рецензенты: зав. кафедрой «Высшая и прикладная математика» МГУПП

д.ф.-м.н., проф.Филиппов А.Н.,

д.ф.-м.н., проф. Соловьёв И.А..

Редактор: Свешникова Н.И.

109004, Москва, Земляной вал, 73

Математический анализ.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Функция.

Напомним несколько необходимых понятий. Переменной называют величину, которая принимает различные значения. Постоянной – величину, значение которой остается неизменным. Постоянную величину можно рассматривать, как частный случай переменной. Областью изменения переменной величины называют совокупность всех ее значений. Интервалом называют совокупность всех чисел х, заключенных между данными числами а и b (a < b) причем сами а и b не принадлежат рассматриваемой совокупности хÎ(а,b) (открытый интервал). Частный случай – хÎ (–¥, ¥). Отрезок (закрытый интервал) – совокупность всех х заключенных между а и b включая границы хÎ[a, b]. Если одна из границ (например а) входит, а другая не входит в рассматриваемую область хÎ [a, b) – полузакрытый интервал. Окрестностью точки х₀ называют произвольный интервал, содержащий х₀ внутри себя (а < x₀ < b). Если , ее называют центром, а – радиусом окрестности. (e окрестность).

Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, по определенному правилу ставится в соответствие значение другой переменной у, то говорят, что у есть функция от х (символическая запись: y = f(x) или y = y(x) и т.п.); х называют независимой переменной (аргументом). Совокупность значений х называют областью определения (существования), а совокупность значений у – областью изменения функции.

Рассмотрим основные способы задания функции.

1. Табличный способ (часто используется в экспериментальных исследованиях) заключается в составлении таблицы, в которой в соседних клетках одного столбца (строки) расположены соответствующие значения аргумента и функции, например:

Х	х₁	х₂	…..	x_i	…..	х_n
У	у₁	у₂	…..	y_i	…..	y_n

2. Графический способ. Значения х и у рассматриваются как координаты точек. Совокупность точек плоскости хОу, абсциссы которых суть значения аргумента, а ординаты – значения функции, называют графиком функции. Если известен график, функция задана графически.

3. Аналитический способ. Аналитическим выражением называется символическое обозначение математических операций, производимых в определенной последовательности над постоянными и переменными величинами (например ; l g sinx² и т.д.).

Если у = f(x) и f(x) обозначает аналитическое выражение, говорят, что функция задана аналитически (например ).

Элементарной функция называется, если ее можно задать одной формулой вида у = f(x), где выражение, стоящее справа, составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. (Функцию от функции называют сложной функцией).

Напомним, что основными элементарными функциями (их свойства и графики полагаем известными из курса средней школы) являются:

1) Степенная функция: у = х^a, где a Î R, х >0

2) Показательная функция: у = а^х, где a > 0, a ¹ 1

3) Логарифмическая функция: у = log_ax, где а > 0, a ¹ 1

4) Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, у = cosec x

5) Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x,

y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, у = arccosec x

Тесты

1.1. Дана функция ; ее область определения:

1) ; 3) ;

2) ; 4) ;

1.2. Дана функция : ее область изменения:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1.3. Какая из функций сложная?

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

Предел. Непрерывность функции.

Переменную величину х называют упорядоченной, если известна область D изменения ее и про каждое из двух любых значений можно сказать, какое предыдущее и какое последующее.

Рассмотрим упорядоченную переменную, изменяющуюся специальным образом, определяемым термином «Переменная величина стремится к пределу».

Число а называют пределом переменной х, если для всякого сколь угодно малого положительного e можно указать такое значение х, начиная с которого все последующие значения будут удовлетворять неравенству |x –а | <e. В этом случае говорят, что х стремится к а (символически х ® а или lim x = a).

Геометрическая интерпретация (рис.2.1): постоянная а есть предел переменной х, если для любой сколь угодно малой e – окрестности точки а найдется такое значение х, что все точки, соответствующие последующим

значениям х, будут находиться в этой окрестности.

Рис. 2.1.

Отметим: 1. Предел постоянной равен самой постоянной; 2. Переменная не может иметь двух пределов; 3. Не всякая переменная имеет предел.

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки а. Число b называют пределом функции f(x) при х ® а, если для любого сколь угодно малого e > 0 найдется такое d > 0, что |f(x) – b| < e при |х – а| < d, (т.е. если для у = f(x) при любом малом e можно найти такое d, что из неравенства а – d < x < а + d следует неравенство b – e < y < b + e. Символическая запись . Геометрическая интерпретация (рис.2.2.) – для всех точек х отстоящих от а не более чем на d, точки М графика функции у = f(x) лежат внутри полосы шириной 2e, ограниченной прямыми у = b –e и y = b + e.

Если х < а и х ® а, то пишут х ® а – 0; если х > а и х ® а – пишут х ® а + 0. Числа и называют левым и правым пределом функции f(x) в точке а. Если b₁ и b₂ существуют и равны, т.е. b₁ = b₂ = b, то b и будет пределом в точке а в смысле данного выше определения. Отметим, что для существования предела в точке а не требуется, чтобы функция была определена в точке а. (Рассматриваются значения х в окрестности точки а, отличные от а).

Говорят, что функция f(x) стремится к пределу b при х ® ¥, если для всякого e > 0 можно указать такое N > 0, что для всех х удовлетворяющих условию |x| > N будет выполняться неравенство |f(x) – b| < e.

Функция f(x) стремится к бесконечности при х ® а, (является бесконечно большой при х ® а) если для всякого M > 0, как бы велико оно ни было, можно найти такое d > 0, что для всех х ¹ а и удовлетворяющих условию |x – a| < d имеет место |f(x)| > M, т.е. (При этом возможно как , так и ). Отметим, что функция может и не стремиться к конечному пределу при х ® а или х ® ¥. Примеры: у = sin x не имеет предела при х ® ¥, а у = sin 1/x – при х ® 0.

Функция a(х) называется бесконечно малой при х ® а или х ® ¥, если или .

Говорят, что если a(х) и b(х) – бесконечно малые при х ® а, и:

1) (или ) – то a – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с b и пишут a = 0 (b).

2) , где m – число отличное от нуля, то a и b бесконечно малые

одного порядка. Если m = 1, a и b – эквивалентные бесконечно малые, что

можно записать используя уже знакомый символ эквивалентности: a~b

3) , где m - число отличное от нуля, то a- бесконечно малая n -го

порядка по сравнению с b (т.е. a~bⁿ).

Отметим, что предел отношения бесконечно малых не изменится при замене их (или одной из них) эквивалентными бесконечно малыми. Это позволяет упростить решение многих задач теории пределов.

Аналогично сравниваются и бесконечно большие функции.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями определяется теоремой: если a(х) - бесконечно малая при х ® а, то функция f(x)=1/a(x) - бесконечно большая при х ® а, и обратно, если f(x) - бесконено большая при x ® а, то a(x)=1/f(x) - бесконечно малая при х ® а.