Основные теоремы о пределах

1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.

lim (u₁ + u₂ + … + u_n) = lim u₁+ lim u₂+ … + lim u_n

2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.

lim (u₁ × u₂ × … × u_n) = lim u₁ × lim u₂ × … × lim u_n

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V ¹ 0.

4. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u £ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х ® а (или х ® ¥ ) стремятся к одному и тому же пределу b, то z = z(x) при х ® а (или х ® ¥) стремится к тому же пределу.

 

Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом. (2.1)

Из (2.1) следует эквивалентность бесконечно малых х и sin x: sin x ~x.

Удобно пояснить это графически. На рис. 2.3 приведены графики функций у = х и у = sinх. Легко видеть, что чем меньше х отличается от нуля, тем меньше отличие ординат (значений функций) соответствующих графиков, а при х = 0 они совпадают. (Это позволяет с высокой точностью при очень малых х определять приближенное значение sin x).

Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет вид: (2.2)

Число е – иррациональное (также как и число p) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2,71828…; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = log_ex. Функцию у = е^х называют экспоненциальной функцией (иногда обозначается как ехр х). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: . Можно также заменять бесконечно малые

величины эквивалентными им:

Непрерывность функций. Функцию у = f(х) называют непрерывной в точке а если:

1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;

2.Существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х₀ получит приращение Dх и примет значение х = х₀ + Dх. В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х₀ + Dх) – f(х₀).

Функцию f(х) называют непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(2.3) или (2.3`)

Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена и получим важное для решения задач теории пределов следствие. Запишем условие непрерывности в виде или, что тоже самое, . Но и, следовательно, (2.4), т.е. для любой непрерывной функции во всех точках области определения ее справедливо соотношение (2.4) – предел функции равен функции предела (символы (и соответствующие операции) предела и функции можно поменять местами): .

Пример:

В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:

.

Говорят, что если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b), где a < b, то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа b₁, b₂ и f(a) равны между собой, точка а называется точкой разрыва первого рода. Эти точки подразделяются на точки скачка, когда b₁ ¹ b₂ (скачок равен b₂ - b₁) и точки устранимого разрыва, когда b₁ = b₂. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: ).

Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).

1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х₁ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x₁) ³ f(x), где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х₂ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

Рис.2.4

f(x₂) £ f(x). Значения f(x₁) = М и f(x₂) = m – наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на этом отрезке. Поясним с помощью рис. 2.4, на котором представлены графки трех непрерывных на [a, b] функций у₁, у₂ и у₃. Легко видеть, что на интервале [a, b] функция у₁ один раз достигает наибольшего М и наименьшего m значений. Функция у₂ во всех точках [a, b] имеет одно и то же значение – оно одновременно и наибольшее и наименьшее. Функция у₃ на [a, b] дважды принимает наибольшее М и наименьшее m значения. Но хоть один раз наибольшее и наименьшее значения принимает каждая из них!

(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b!)

х

2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то между точками a и b найдется по крайней мере одна точка х = с, в которой функция обращается в нуль. (Это значит, что график функции хотя бы раз пересечет ось Ох в пределах этого отрезка; х = с – как раз такая точка). На рис. 2.5: графики функций у₁ и у₂ таковы, что на концах интервала [a, b] их ординаты (значения функций) различны. При этом график у₁ пересекает ось Ох один раз, а график у₂ – три раза, но хоть один раз – каждый из них.

3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m, заключенное между числами А и В, найдется такая точка х = с, заключенная между a и b, что f(c) = m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает на нем наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями.

Тесты

1.4. Функция является бесконечно большой при:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.5. Функция является бесконечно малой при:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.6. Эквивалентными (бесконечно малыми) при будут:

1) и ; 3) и ;

2) и ; 4) и .

1.7. Какой из пределов называют «вторым замечательным»:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1.8. Функция в точке х = -1:

1) Непрерывна;

2) Испытывает разрыв 2^го рода;

3) Испытывает разрыв 1^го рода.

1.9. Если непрерывная функция на концах отрезка [ а; в ] принимает значения разного знака, то ее график:

1) пересекает ось Х один раз;

2) не пересекает ось Х;

3) пересекает ось Х хотя бы один раз.

Производная.

Рассмотрим функцию у = f(x) определенную на некотором интервале. Дадим аргументу х приращение Dх. Новому значению аргумента х + Dх будет, в общем случае, соответствовать новое значение функции f (x + Dх), т.е. функция также получит некоторое приращение

Dу = f (x + Dх) – f (x). Составим отношение . Если существует, то его называют производной данной функции и обозначают y` (или f`(x) или dy / dx). Иногда используют обозначение у`_х – индекс показывает, по какому аргументу берется производная.

(3.1) или (3.1`)

Производной данной функции y = f(x) по аргументу х называют предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. В общем случае производная также является некоторой функцией от х. (f`(x) = j(x)). Конкретное значение производной при х = а обозначают f `(а) или у`/_{х = а}. Операцию нахождения производной называют дифференцированием функции.

Понятие производной (и соответствующий математический аппарат) широко используются в различных прикладных задачах. Пример: Известно, что средняя скорость движения тела определяется выражением V = s / t (s = s (t) – путь пройденный телом, t время движения). Очевидно, что мгновенную скорость можно найти, как (механический смысл производной). Рассмотрим геометрическую интерпретацию.

Рис. 3.1

Возьмем на графике функции y = f(x) (рис.3.1) произвольные точки М₀(х, у) и М₁(х + Dх, у + Dу) и проведем секущую М₀М₁. Очевидно, что угол наклона секущей к оси Ох определяется выражением . Если точка М₁ приближается к точке М₀, то секущая поворачивается вокруг точки М₀ (при этом Dх ® 0) и в пределе занимает положение касательной к графику функции, проведенной через точку М₀.

Угол наклона касательной определится выражением .

Геометрический смысл производной очевиден: Значение производной f`(x) при данном значении аргумента х равняется тангенсу угла наклона касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М(х, у). Это, с учетом (1.36), позволяет записать уравнение касательной к кривой у = f(x) в точке (х<sub>0</sub>, у<sub>0</sub>) в виде у – у<sub>0</sub> = f `(x₀)(x – x₀) (3.3).

Говорят, что если функция y = f(x) имеет производную в точке х = х₀, т.е. если существует предел , она дифференцируема в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка (интервала), говорят, что она дифференцируема на отрезке (интервале).

Теорема. Если функция у = f(х) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна. Действительно, если , то , где g – бесконечно малая величина, т.е. . Но тогда Dу = f `(x₀) Dx + gDx, откуда следует, что Dу ® 0 при Dх ® 0 и функция f(x) непрерывна в точке х₀. Очевидно, в точках разрыва функция не может иметь производной. Это не значит однако, что если функция непрерывна в точке х₀, то она дифференцируема в ней. Рассмотрим функцию, график которой представлен

на рисунке. Функция непрерывна во всех точках [a, b]. Однако в точке с к графику функции можно провести две различные касательные, т.е. в этой точке первая производная не существует (испытывает разрыв) и функция непрерывна, но не дифференцируема.

Рассмотрим функцию в точке х = 0. , т.е. в точке х = 0 рассматриваемая функция непрерывна, но не дифференцируема.

Рассмотрим производные основных элементарных функций. Пусть у = х². Очевидно Dу = (x + Dx)² – х² = 2xDx + D² х и , т.е. если у = х², то у` = 2х. Рассуждая аналогично, несложно доказать, что производная функции у = х<sup>n</sup>, где n – целое положительное число, равна nx<sup>n–1</sup>, т.е. если у = х<sup>n</sup>, то у` = nх^n–1 (3.4). Эта формула, как будет показано ниже, верна и в случае любого действительного n. Приведем без доказательств следующие утверждения:

Если у = sinx, то y` = cosx (3.5) Если у = cosx, то y` = – sinx (3.6)

Производная постоянной равна нулю, т.е. если у = с, где с – постоянная, то с` = 0 (3.7)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной, если у = c f(x), где c = const, то y` = cf `(x) (3.8).

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций, т.е. если , то (3.9)

( – символ суммы индексированных (нумерованных) величин, где i – текущий индекс, к и n – нижний и верхний пределы суммы – т.е. номера первой и последней складываемых величин.)

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй, т.е. если у = uv, то

y` = u`v + uv` (3.10).

Производная дроби (частного от деления двух функций) равна дроби, знаменатель которой есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, т.е. если y = u / v, то (3.11).

Используя приведенные соотношения можно получить производные других элементарных функций и составить таблицу производных. Приведем их, опуская доказательства.

Если у = log_ax, то (3.12). Очевидно, (3.12`)

Если y = tg x, то (3.13) Если y = сtg x, то (3.14)

Если у = а^х (a > 0), у` = а<sup>х</sup>ln a (3.15) и (е<sup>х</sup>)` = e^x (3.15`)

Рассмотрим особенности нахождения производной от сложной функции - функции вида у = F(u), где u = f(x), или у = F(f(x). Переменную u называют промежуточным аргументом.

Теорема: Если функция u = f(x) имеет в некоторой точке х производную u_x` = f `(x), а функция y = F(u), имеет при соответсвующем значении u производную y`<sub>u</sub> = F(u), то сложная функция у = F(f(x)) в указаной точке х также имеет производную y`_х = F`<sub>u</sub>(u)f `(x) или y`<sub>x</sub>=y`_uu`_x (3.16)

(Иначе – производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента).

Пример: y = sin x² => y = sin u, u = x², используя (3.16). (3.5) и (3.4) получим: y`<sub>u</sub> = cos u, u`_x = 2x, y`_x = 2xcos x².

Приведенное правило позволяет получить производную неявной функции т.е. функции, заданной уравнением F(x, y) = 0 (3.17).

(Отметим, что если в (3.17) удастся привести уравнение к виду у = f (х), то функция оказывается заданной в явном виде. Операция эта осуществима далеко не всегда).

Пример: F(x, y) = sin (x + y) – e^{(x – y)} = 0. Дифференцируя обе части равенства по х и помня, что у есть функция от х, получим:

В некоторых случаях, прежде чем найти производную, бывает удобно прологарифмировать уравнение, задающее функцию. Пусть у = хⁿ. Прологарифмировав обе части равенства, получим ln y = n ln x, откуда для произвольного действительного n. Выражение называют логарифмической производной. (Отметим, что логарифмическое дифференцирование удобно применять при нахождении производных от произведения большого количества функций и показательно-степенных функций).

Найдем производную обратной функции. Пусть y = f(x) возрастающая или убывающая функция, определенная на некотором интервале (a, b), (a < b). (Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁) ее называют возрастающей. Если f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁ функция убывающая). Для определенности (без потери общности) рассмотрим возрастающую функцию. Из определения ее очевидно, что значения х и у связывает взаимно однозначное соответствие. Рассматривая у как аргумент, а х как функцию, свяжем их значения соотношением х = j(у). Эта функция является обратной для функции y = f(x), а функция y = f(x) обратной для х = j(у). Эти функции имеют один и тот же график и функция х = j(у) находится как решение уравнения y = f(x) относительно х. Отметим, что:

1. Если возрастающая (убывающая) функция непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) = c, f(b) = d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c, d];

2. Если функция y = f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций (однозначных).

Пример: у = х² на интервале (–¥, ¥) не является ни возрастающей, ни убывающей и имеет две обратные функции: (0 £ х < ¥) и (- ¥ < х < 0).

Теорема: Если для функции y = f(x) существует обратная функция х = j(у), которая в рассматриваемой точке у имеет производрую j`(у) отличную от нуля, то в соответствующей точке х функция y = f(x) имеет производную f `(x) равную 1 / j`(у), т.е. справедлива формула

f`(x) = 1 / j`(у) (3.18).

Используя полученное правило, пополним таблицу производных:

Если y = arcsin x, то (3.19) Если y = arccos x, то (3.20)

Если y = arctg x, то (3.21) Если y = arcctg x, то (3.22)

Примеры:

Используя (3.11) найдем:

(Напомним, что sin²x + cos²x=1; sin2x = 2sinx cosx)

у = х^х. Прологарифмировав обе части равенства по основанию е получим lnу = xlnx. Продифференцировав обе части равенства, найдем (lny)` = (xlnx)` => y`/ у = lnx + 1 => y` = x^x (lnx + 1).

Выведем фомулу (3.19). Итак, y = arc sin x => sin y = sin arc sin x => x = sin y. Воспользуемся (3.18):

В ряде случаев функциональную зависимость (линию, поверхность) удобно задавать в параметрической форме: каждая неизвестная (координата точки) представляется функцией параметра t, причём каждому значению параметра соответствуют координаты некоторой точки (значения неизвестных, удовлетворяющих обычному уравнению зависимости); и т.д. (Пример - параметрические уравнения прямой в разделе 1.7.1)

(От параметрического задания функции легко перейти к привычному , исключив из уравнений параметр t - разрешив уравнение (1) относительно t и подставив его в (2)). Производная функции, заданной параметрически, определяется выражением:

Рассмотрим понятие производных высшего порядка. Производную от функции y = f(x) (ее называют первой), обозначаемую y` = f`(x) = dy / dx можно рассматривать как новую (по отношению к f(x)) функцию той же переменной. Эта функция, в свою очередь, может быть продифференцирована, т.е. найдена первая производная от первой производной исходной функции f(x); (y`)`=(f`(x))`. Она называется второй производной, обозначается y`` = f ``(x) = d²y / dx² и является производной высшего (второго) порядка. Очевидно, что таким же образом может быть определена производная n–го порядка (n Î Z), обозначаемая y⁽ⁿ⁾ = f⁽ⁿ⁾(x) (n – берется в скобках, чтобы не путать с показателем степени). Иногда порядок производной обозначают римскими цифрами.

 

Дифференциал.

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором отрезке, то производная принимает определенные значения. Отношение Dу/Dх при Dх ® 0 можно представить в виде где a ® 0 при Dх ® 0. Умножая равенство на Dх получим Dу = f `(x) Dx + aDx. В общем случае f`(x) ¹ 0 и произведение f `(x) Dх есть величина бесконечно малая одного порядка с Dх, а aDх – бесконечно малая высшего порядка. Первое из двух слагаемых (f`(x) Dх) называют главной частью приращения функции, линейной относительно Dх, или дифференциалом функции и обозначают dy = f `(x) Dх.

Пусть у = х. Очевидно, что dy = dx и дифференциал независимого переменного совпадает с приращением и можно записать dy = f`(x)dx (3.24).

Производную функции f`(x) = dy / dx можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

То, что в выражении Dу = dy + aDx второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, позволяет в приближенных вычислениях использовать следующий алгоритм:

Dу» f `(х)Dх => f (х+Dх) – f (х) @ f `(x) Dх => f (x + Dх) @ f(x) + f `(x) Dх (3.25.),

причем вычисления тем точнее, чем меньше величина Dх.

 

Пример: Вычислим приближенное значение sin46⁰; 46⁰ = 45⁰ + 1⁰ = p/4 + p/180; Из (3.25) очевидно, что sin(x + Dх)» sin x + Dх cosx и sin 46⁰ = sin (p/4 + p/180) @ sin p/4 + (p/180)cos p/4» 0,7194.

Рис. 3.2

Из (3.24) следует, что большинство теорем и формул, относящихся к производной, справедливы и для дифференциалов. Так

d(u + v) = du + dv (3.26), d(uv) = vdu + udv (3.27) и т.д.

Геометрический смысл дифференциала легко уяснить из рис. 3.2. Возьмем на кривой у = f(x) произвольную точку М(х, у) и проведем касательную. Приращению Dх аргумента соответствует приращение Dу функции и точка М₁(х + Dх, у + Dу). Из треугольника МNT находим NT = MN tg a = Dх f `(x) = dy (по определению дифференциала), т.е. геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке М (х,у).

Аналогично тому, как определяются производные высших порядков, определяются и их дифференциалы. Дифференциал от дифференциала называют дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) и обозначают d(dy) = dy². По определению дифференциала d²y = [f `(x) dx]`dx = f``(x)(dx)², так как dx от х не зависит. Очевидно, таким же образом определяется дифференциал любого порядка dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ; принято записывая порядок дифференциала опускать скобки, т.е окончательно общее выражение примет вид

dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ (3.24').

Тесты

1.10. Если точка в некоторой точке непрерывна, то она в этой точке:

1) Может быть дифференцируема;

2) Дифференцируема;

3) Не дифференцируема.

1.11. Если функция в точке дифференцируема, то она в этой точке:

1) испытывает разрыв;

2) может быть непрерывна;

3) Непрерывна.

1.12. Если , то у ' =

1) ; 2) ; 3) .

1.13. Если , то у ' =

1) ; 2) ; 3) .

1.14. , у ''' =

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1.15. ; у ' =

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1.16. ; d ³ x =

1) ; 3) ;

2) ; 4) .