Рассмотрим смешанную задачу для уравнения с переменными коэффициентами:
Предполагаем, что функции 
непрерывны на отрезке
и выполнены неравенства
Будем искать решение задачи (56 
58) в форме
(59)
и подставляя (59) в (56), после разделения переменных получим
(60)
Из (57) и (59) вытекает, что функция Х (х) должна удовлетворять гранич- ным условиям 
Присоединив эти граничные условия к дифференциальному уравнению для Х (х) получим, так называемую, зада- чу Штурма Лиувилля:
где нужно определить значения параметра 
и соответствующие нетри-
виальные решения Х (х).
Определение. Те значения параметра , для которых задача (61 62) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями.
Ранее у нас встречалась задача Штурма Лиувилля (37 38) для урав-нения с постоянными коэффициентами и нахождение ее собственных функций базировалось на возможности найти явно общее решение диф- ференциального уравнения. Теперь мы имеем такую ситуацию, когда уравнение (61), вообще говоря, не интегрируется в квадратурах и в первую очередь возникает вопрос о существовании собственных значений и собственных функций и их свойствах.
Справедливы следующие три теоремы.
Теорема 1. Задача Штурма Лиувилля (61 62) имеет счетное множес- тво положительных собственных значений
отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны друг другу с весом 
на отрезке , т. е.
Теорема 3. Если f (x) имеет на непрерывные производные до вто- рого порядка включительно и удовлетворяет граничным условиям
то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящий- ся ряд Фурье по собственным функциям задачи (61 62)
где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам
Считая задачу Штурма-Лиувилля решенной, вернемся к равенству (60) и решим дифференциальное уравнение
Очевидно, что 
Теперь составляем ряд
(63)
и определяем А k так, чтобы выполнялось начальное условие (58), т. е.
откуда в силу теорем 2 и 3 следует, что
(64)
Итак найдено, что решение задачи (56 58) дается формулами (63), (64).
Заметим, что теорема 2 об ортогональности будет иметь место и для других задач Штурма Лиувилля, если граничные условия (57) заменить на 
или, например, 
Более того, чуть позже рассмотрим так называемый особый случай, когда коэффи –циент k (х) обращается в нуль в точках х =0 и 
, и собственные функ- ции будут снова составлять ортогональную с весом ρ(х) систему функ- ций.
Разумеется, что рассмотренная задача Штурма Лиувилля для уране-ния с переменными коэффициентами может возникнуть и при решении уравнений гиперболического или эллиптического типа. Если, например,
в правой части (56) заменить 
на 
, то получим уравнение гипебо- лического типа с переменными коэффициентами, решение которого будет опираться на задачу (61 62).
192. Имеется однородный тонкий стержень длиной 
, изолированный от окружающего пространства, с начальной температурой 
Определите температуру u (x,t) точек стержня при t >0, если концы стерж- ня поддерживаются при температуре, равной нулю.
Р е ш е н и е. Поставленная задача равносильна смешанной задаче
которую решаем методом Фурье, полагая 
После подстановки в дифференциальное уравнение и разделения переменных найдем
Из граничных условий получим
Теперь решаем задачу Штурма-Лиувилля:
Из дифференциального уравнения 
находим, что
и, следовательно, решение смешанной задачи будет иметь вид
Определим коэффициенты Аk так, чтобы выполнялось начальное условие
Подставляя значения коэффициентов в ряд, придем к ответу
193. Растворенное вещество с начальной концентрацией u 0 диффундиру- ет из раствора, заключенного между плоскостями х =0 и в раствори- тель ограниченный плоскостями x=h и . Определить процесс вырав- нивания концентрации, предполагая, что границы х =0 и непроница- емы для вещества.
