Подставив u (x,t)= X (x) T (t) в дифференциальное уравнение, получим
Из граничных условий найдем
Решаем задачу Штурма 
Лиувилля:
Общее решение
,
из граничных условий следует 
.
Собственные функции имеют вид 
.
Из дифференциального уравнения 
следует, что
Возьмем теперь функциональный ряд
Подставляя его в первое начальное условие, получим
При вычислении интеграла применялось интегрирование по частям, причем вне интегральные слагаемые обращались в нуль на каждом шаге.
Из второго начального условия имеем
Подставляя найденные коэффициенты в функциональный ряд, придем к ответу
145. Труба, открытая с одного конца, движется поступательно в направ- лении своей оси с постоянной скоростью v. Вмомент t =0труба мгновен- но останавливается. Определить смещение воздуха внутри трубы на рас- стоянии х от ее закрытого конца.
Р е ш е н и е. Текстовая задача приводится к смешанной задаче
Полагая u (x,t) =X (x) T (t), получим после подстановки в дифферен-циальное уравнение и разделения переменных
Из граничных условий найдем
Присоединяя полученные граничные условия к дифференциальному уравнению для функции Х (х) придем к задаче Штурма Лиувилля:
Необходимо найти ее собственные значения и собственные функции. Подставляя общее решение 
в первое из граничных условий, будем иметь 
Считая С 2 =l, из второго граничного условия найдём
Дифференциальное уравнение для функции Т (t) будет иметь вид
,
и его общее решение
Cогласно схеме метода Фурье, перемножаем Tk (t) на собственные функции 
и составляем ряд
Подставив в первое начальное условие, получим
Из второго начального условия найдем
С учетом найденных значений 
и 
придем к ответу
146. Найти продольные колебания упругого стержня, один конец ко- торого 
закреплен жестко, а другой х =0 свободен, при начальных ус- ловиях
Р е ш е н и е. Отклонение точек стержня 
от положения равнове -сия будет решением смешанной задачи
которую решаем по методу Фурье, полагая u (x,t) =X (x) T (t).
После разделения переменных получим два обыкновенных дифферен- циальных уравнения с параметром 
:
Из граничных условий найдем
Теперь решаем задачу Штурма-Лиувилля
Из дифференциального уравнения для функции T (t) найдем
и решение смешанной задачи разыскиваем в виде ряда
Подставляя этот ряд в первое начальное условие, будем иметь
Из второго начального условия получим
Подставляя найденные коэффициенты в ряд, придем к ответу
147. Найти продольные колебания упругого стержня со свободными концами х= 0и 
при начальных условиях
Р е ш е н и е. Отклонение точек стержня u(x,t) от положения равнове -сия будет решением смешанной задачи для однородного уравнения коле -баний струны
которую решаем методом Фурье, полагая u (x,t) =X (x) T (t). После подста- новки в дифференциальное уравнение и разделения переменных найдем опять таки
Из граничных условий на этот раз получим
Теперь находим собственные значения и собственные функции задачи Штурма Лиувилля 
Решая дифференциальное уравнение для функции T (t), будем иметь
и, следовательно, для смешанной задачи нужно составить ряд
Подставляя его в первое начальное условие, получим
Из второго начального условия найдем
Подставляя значения коэффициентов в ряд, придем к ответу
148. Один конец х =0 стержня свободен, а другой 
закреплен упруго. Найти продольные колебания стержня при начальных условиях
Решение. Здесь нужно решать смешанную задачу
методом разделения переменных, полагая u (x,t) =X (x) T (t).
После разделения переменных придем к двум обыкновенным диффе- ренциальным уравнениям:
Из граничных условий найдем
Теперь решаем задачу Штурма-Лиувилля:
Обозначим через 
положительные корни уравнения
Из дифференциального уравнения для функции Т (t)найдем
и решение смешанной задачи разыскиваем теперь в виде ряда
Подставляя этот ряд в первое начальное условие, получим
Из второго начального условия найдем, что 
, следовательно при- дем к ответу
149.Однородная струна, закрепленная на концевых точках x =0и х=l, имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно прямой 
Определить смещение точек струны u=u (x,t) от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости равны нулю.
150.Однородная струна длиной l натянута между точками х= 0и x=l. В точке x=l/ 2струна отклонена на небольшое расстояние h от положения равновесия и в момент t =0 отпускается без начальной скорости. Определить отклонение u (x,t)струны при t >0.
151.Однородная струна длиной l закреплена на конце x= 0, а к другому ее концу прикреплено кольцо, массой которого можно пренебречь. Кольцо может скользить по гладкому стержню, оно отклонено на малое рассто- яние h от положения равновесия и в момент t =0 отпущено. Найти u (x,t) при t >0.
Решите следующие смешанные задачи 
РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
