Ряды и преобразования Фурье

ЗАДАЧИ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

И ИХ РЕШЕНИЕ

Пособие для студентов физического факультета

специальности 1-31 04 01 «Физика»

МИНСК

А в т о р ы – с о с т а в и т е л и:

В. Н. Русак, Н. К. Филиппова

Рекомендовано

Ученым советом физического факультета

28 июня 2005 г.протокол №11

Р е ц е н з е н т ы:

доктор физико-математических наук, профессор В.Т. Ерофеенко;

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Пекарский.

Задачи по математической физике и их решения: пособие для студентов физ. спец. 1=310401 «Физика»/ авт.=сост. В.Н. Русак, Н.К. Филиппова. -Мн.: БГУ, 2006 г.-93 с.

Для студентов 1-2 курсов физического факультета и факультета радиофизики и электроники БГУ.

Предисловие

Преподавание математических дисциплин на физических факультетах Белорусского государственного университета складывалось на основе опубликованного В.И. Смирновым пятитомного «Курса высшей матема- тики» и серии учебных пособий , отражающих опыт преподава- ния в московских вузах. Что касается непосредственно математической физики, то на русском языке также имеется ряд учебных пособий и сбор- ников задач .

В 1998 г. В.Н. Русак издал краткий курс математической физики рассчитанный на 90 лекционных часов. При написании настоящего посо- бия авторы, в доходчивой форме изложили круг основных идей и мето-

дов применяемых при решении задач математической физики в рамках действующей программы. В нем по каждой теме приведены необходимые теоретические сведения, подробно разобраны решения типовых упражне- ний и предложены примеры для самостоятельной работы. Основной ак -цент делается на метод разделения переменных и применение цилиндри -ческих функций.

Пособие адресовано студентам физикоматематических специаль- ностей которые изучают дифференциальные уравнения в частных произ- водных и их приложения.

РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Если f (x) 2 l – периодическая кусочно-гладкая функция на R, то она раскладывается в ряд Фурье

(1)

(2)

Бывает так, что функция f (x) задана и является кусочно-гладкой на отрезке [- l, l ]и ее также можно разложить в ряд Фурье вида (1-2), и сумма этого ряда будет 2l – периодическим продолжением функции f (x). Добавим к сказанному, что в формулах (2) в силу 2 l –периодичности можно вести интегрирование по любому отрезку длиной 2 l.

Если f (x) четная 2 l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты b_k =0, и соответственно

(3)

(4)

Если f (x) нечетная 2 l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты a_k =0, и соответственно

(5)

(6)

Если f (x) кусочно-гладкая функция на отрезке [0, l ], то ее можно разложить в ряд Фурье (3), (4), так и в ряд Фурье (5), (6), осуществляя соответствующее продолжение функции f (x).

Если f (x) непрерывная 2 l – периодическая функция и существует кусочно-непрерывная производная f (x), то ряд Фурье функции f (x) сходится к ней равномерно.

Для всякой кусочно-непрерывной на [- l, l ] функции выполняется ра- венство Ляпунова-Стеклова

(7)

Если f (x) кусочно-непрерывная функция на отрезке [- l, l ], то ее ряд Фурье можно интегрировать почленно.

Предполагаем теперь, что f (x)определена на R, абсолютно интегриру- ема и является кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке. Тогда спра- ведлива интегральная формула Фурье

(8)

Разумеется, что в точках непрерывности правая часть соотношения (8) может быть заменена на f (x).

Интегральная формула Фурье равносильна выполнению двух пре- образований: прямого преобразования Фурье

(9)

и обратного преобразования Фурье

(10)

где х точка непрерывности и интеграл в (10) понимается в смысле главно- го значения по Коши.

1. Разложить в ряд Фурье функцию

Р е ш е н и е. Учитывая четность f (x), применяем формулу (4) и получим при k ³1

Если же k =0, то

Cледовательно, на интервале выполнено равенство

2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = arсsin(sin x), xÎ R.

Р е ш е н и е. Поскольку:

то f (x) нечетная функция на R, а период функции равен 2p. В качестве основного отрезка можно брать отрезок [-p,p] и применять формулу (6). Предварительно нужно учесть, что

Если же то sin x =sin (p- x) и тогда

f (x)=arcsin (sin(p- x))=p -x.

Следовательно для коэффициентов Фурье будем иметь по формулам (6)

Следовательно для всех x Î R имеет разложение в ряд

3. Проверьте, что при 0< x <p выполнено равенство

Р е ш е н и е. Продолжим функцию

нечетным образом на (-p,0) и разложим в ряд Фурье (5),(6). Будем иметь

Итак, мы проверили, что и тем самым устано- вили нужное равенство.

4. Разложите в ряд Фурье функцию

Р е ш е н и е. Поскольку f (x) определена на R, нечетная, имеет период 2pи является гладкой, то она разлагается в ряд (5),(6), однако коэффици- енты будем находить не по формулам (6). Воспользуемся известным сте- пенным рядом

Левую часть равенства в числителе и знаменателе домножим на , тогда будем иметь

и если в этом соотношении отделить слева и справа мнимые части, то получим

5. Найдите преобразование Фурье для функции

Р е ш е н и е. Пользуясь формулой (9) и леммой Жордана будем иметь при a>0

Если же a<0, то интеграл считается через вычет в точке ai и получим

Объединяя обе формулы, найдем

Разложите в ряды Фурье в указанных интервалах:

6. f (x)= x в интервале(-l, l).

7. f (x)=sign x в интервале (-l, l).

8. f (x) = cos⁴ x, x Î(-¥,¥).

9. f (x) =|x|, x Î(-l, l).

10. f (x) =l ² -x ² в интервале (-l, l).

11. f (x) =x ² в интервале (-p,p).

13. f (x)= | sin x|, x Î(-¥,¥).

14. f (x)= | cos x|, x Î(-¥,¥).

15. f (x) = sign(cos x), x Î(-¥,¥).

16. f (x) = arcsin(cos x), x Î(-¥,¥).

17. f (x) =x -[ x ], xÎ (-¥,¥).

18. Функцию f (x) =x ² разложить в ряд Фурье

а) по косинусам

б) по синусам

в) в интервале (0,2 l).

Используя эти разложения, найти суммы числовых рядов

19. Отправляясь от разложения

найти интегрированием разложения в ряд Фурье на интервале функций х ², х ³, х ⁴.

20. Напишите равенство Ляпунова для функции

21. Вычислить с помощью равенства Ляпунова интеграл

Найдите разложения в ряды Фурье с помощью степенных рядов для следующих 2p-периодических функций:

Докажите равенства:

27.

28. Как нужно продолжить функцию f (x) с интервала на интервале (-p,p), чтобы выполнялось равенство

29. Как нужно продолжить функцию f (x) с интервала на интервал

(-p,p), чтобы выполнялась равенство

Найдите преобразования Фурье от следующих функций:

36.

37.

38. Найдите четное и нечетное преобразование Фурье для функции продолжая ее четным или нечетным способом.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Комплекснозначная функция действительной переменной f (t) называ- ется оригиналом по Лапласу, если

1) f (t)=0 при t <0,

2) на любом конечном отрезке [0, t ] f (t) и ее производные суть кусочно-непрерывные функции,

3) f (t) растет не быстрее показательной функции, а именно - показатель роста оригинала.

Преобразованием Лапласа называется функция комплексной переменной

(11)

Для всякого оригинала f (t) преобразование Лапласа F (p) существует и является аналитической функцией в полуплоскости Re p>S ₀.

Наряду с термином преобразование Лапласа употребляют термин из-ображение, т. е. говорят, что всякому оригиналу f (t) по формуле (11) ста- вится в соответствие изображение F (p). Кроме того, употребительна за- пись f (t) ≓ F (p) или F (p) ≓ f (t), означающая, что f (t) по изображению равна F (p), или точнее: F (p)есть изображение для оригинала f (t).

Имея дело с конкретными оригиналами, будем задавать их только при t ³ 0, помня о том, что при t <0 оригиналы равны нулю.

Перечислим основные свойства оригиналов и изображений

1. Линейность. Изображение линейной комбинации равно линейной комбинации изображений

≓

2. Дифференцирование оригинала. Если f (t) и ее производные суть оригиналы, то справедливы формулы

≓ (12)

и при любом n

≓ (13)

3. Интегрирование оригинала. Если f (t) ≓ F (p), то

≓ (14)

4. Дифференцирование изображения. Если f (t) ≓ F (p), то при любом n

≓ (15)

5. Интегрирование изображения. Если f (t)≓ F (p), и существует интег- рал то

≓ (16)

6. Теорема запаздывания. Если f (t) ≓ F (p), и τ>0, то

≓ (17)

7. Теорема смещения. Если f (t) ≓ F (p), то при любом комплексном p ₀

≓ (18)

8. Теорема о свертке. Если f (t) ≓ F (p), g (t) ≓ G (p), то

≓ (19)

9. Теорема разложения. Если f (t) ≓ F (p), изображение F (p) аналитично всюду, за исключением конечного числа особых точек в конечной части плоскости, и F (p)→0 равномерно относительно аргумента при р → ¥, то

(20)

где сумма вычетов берется по всем особым точкам функции F (p).

Свойства дифференцирования и интегрирования оригиналов позволя- ют сводить названные операции соответственно к умножению и делению на р. На этих свойствах основано применение операционного исчисления к решению дифференциальных, интегральных и интегродифференциаль- ных уравнений и их систем, которые встречаются в радиотехнике.

39. Найдите изображения по заданным оригиналам

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) .

Р е ш е н и е.

а) По формуле (11) имеем

≓

б) По формуле (11)

≓ .

в) Опираясь на формулы Эйлера, свойство линейности и предыдущий пример, будем иметь

≓

≓ .

г) Изображение функции cos wt может быть найдено аналогично как и для sin wt, или можно воспользоваться дифференцированием оригинала, т. е. формулой (12)

sin wt ≓ ≓ ≓ .

д) Применяя свойство дифференцирования изображения, имеем

1 ≓ ≓ ≓ ≓ ≓ ≓

е) Отправляясь от изображения функции sin t и применяя формулу (16), будем иметь

sin t ≓ ≓

≓ arcctg p.

ж) Применяя формулу (14), получим

≓ ≓ .

з) С учетом теоремы смещения

≓ ≓ .

и) Применяя теорему смещения, будем иметь

≓ ≓ .

к) Пользуясь определением и выполняя замену переменной интегрирования, найдём

≓

40. Найдите оригиналы по заданным изображениям

а) , б) ,

в) , г) .

Р е ш е н и е.

а) После выделения полного квадрата имеем

≓ .

Здесь применена теорема смещения, поскольку ≓ .

б) Поскольку sin3 t ≓ , то по формуле (15)

≓ ≓ .

в) Раскладываем F (p) на простые дроби и пользуемся свойствами линейности

≓

г) По теореме разложения имеем

41. Решите задачу Коши

Решение. Полагая x (t) ≓ X (p), найдем с учетом (13)

≓ , ≓

Учитывая еще, что cos t ≓ , придем к операторному уравнению

откуда следует, что

или после разложения на простые дроби, будем иметь

≓ ≓

≓

42. Решите интегральное уравнение

Р е ш е н и е. Полагая j(х) ≓F(р), учитывая, что cos t ≓ и формулу (19), придем к операторному уравнению

Откуда найдем с учетом теоремы смещения

≓

43. Найдите частное решение интегро-дифференциального уравнения

Р е ш е н и е. Пользуясь теоремой о свертке и свойством дифференцирования оригинала, найдем

Отсюда получим

≓

44. Докажите равенство

≓

где в левой части находится интеграл вероятности

Р е ш е н и е. Введем вспомогательную функцию

и убедимся, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению

Действительно, имеем

С учетом того, что f (0)=0и ≓ перейдем к операторному урав- нению

Итак, мы нашли, что

≓

Вспоминая теорему смещения, окончательно находим

≓ ≓

45. Пользуясь формулой

≓

найдите операционным способом решение краевой задачи

Р е ш е н и е. Применяем преобразование Лапласа по переменной t

≓ ≓

≓

и приходим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

причем нам нужно искать ограниченное в окрестности точки решение. Таковым решением будет, очевидно, функция

≓

Пользуясь определением и свойствами оригиналов и изображений, найдите изображения следующих оригиналов

46. . 47. 48.

49. 50. 51.

52. 53. 54.

55. 56. 57.

58. 59. 60.

61. 62. 63.

64. 65. 66.

67. 68. 69.

70. 71. 72.

73. 74. 75.

76. 77.

78. 79.

80. 81. .

82.

Пользуясь свойствами оригиналов и изображений, разложением изображения на простые дроби или теоремой разложения, найдите оригиналы по заданным изображениям:

83. 84.