Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы

и функция w (x,t), будет уже решением однородной смешанной задачи

 

которая решается в соответствии с простейшей схемой метода Фурье.

Как и при решении задачи 229 придем к ряду

где положительные нули цилиндрической функции J ₀(x). Что касается коэффициентов А_k, то из начального условия w/_{t= 0}=0 будет следовать

Второе начальное условие приведет к равенству

откуда в силу ортогональности собственных функций с весом r на[0 ,l ] найдем

Чтобы вычислить J ₁, нужно сделать замену переменной интегриро- вания и воспользоваться равенством (73), соответственно получим

Чтобы вычислить

заметим, что

,

удовлетворяют уравнениям

Умножив первое из этих уравнений на y ₂(r), второе на y ₁(r), вычитая полученные результаты и интегрируя в пределах от 0 до l, будем иметь

Возвращаясь теперь к J ₂, получим

Подставляя теперь найденные значения J ₁ и J ₂в выражение для В_k, найдем

В итоге придем к ответу

Заметим в заключение, что рассматривается так называемый нерезо- нансный случай, когда

233. Найти радиальное распределение температуры в бесконечном круго- вом цилиндре радиуса l, боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре u ₀ . Начальная температура внутри цилиндра равна нулю.

Р е ш е н ие. После перевода текста на формулы придем к смешанной задаче

С помощью замены

u (r,t) =u ₀ +v (r,t)

получим смешанную задачу для функции v (r,t):

решение которой уже ищем в виде произведения R (r)и T (t) так, что

v (r,t) =R (r) T (t).

Разделив переменные, придем к двум обыкновенным дифферен- циальным уравнениям:

С учетом граничных условий относительно радиальной функции R (r) придем к задаче Штурма Лиувилля

Такая задача уже встречалась ранее в задачах 229 и 230, ее собствен- ные значения и собственные функции будут

Собственные функции ортогональны между собой с весом р (r) =r. Дифференциальное решение для функции T (t) имеет вид

его можно решить как линейное с постоянным коэффициентом и мето- дом разделения переменных, тогда получим

Перемножая T_k (t) на собственные функции и суммируя, придем к ряду

Подставляя этот ряд в начальное условие, будем иметь

Итак решение исходной задачи будет выражаться рядом

234. Дан неограниченный цилиндр радиуса l, на поверхности которого поддерживается постоянная концентрация u ₀ вещества. Определить коли- чество вещества, продиффундировавшего внутрь цилиндра в момент вре- мени t, на единицу длины, если начальная концентрация u (r,t) /_{t= 0}=0.

Р е ш е н и е. Поскольку уравнение теплопроводность есть одновре -

менно и уравнение диффузии, то будем иметь смешанную задачу

Эта задача идентична встретившейся задаче 233, поэтому ее решение сразу выписываем:

Теперь мы должны взять интеграл от концентрации, т. е.

235. Дана неограниченная цилиндрическая труба , и ее началь- ная температура u (r, 0) =f (r). Внутренняя и наружная поверхности трубы поддерживаются при нулевой температуре. Найти распределение температуры в сечении u (r,t) при t >0.

Р е ш е н и е. Здесь возникает смешанная задача

Полагая u (r,t) =R (r) T (t), после разделения переменных придем к соот- ношениям

С учетом граничных условий для радиальной функции получим зада- чу Штурма Лиувилля

Собственные функции будут ортогональными на отрезке [ r ₁ ,r ₂] с весом r.

Общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид

Подставив его в граничные условия, придем к соотношениям

для определения С₁, С₂ и λ.Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальные решения, если ее определитель

Корни уравнения

и будут собственными значениями, а собственные функции, как нетрудно проверить, будут иметь вид

как уже отмечалось, они образуют ортогональную систему с весом r на отрезке Найдем квадрат нормы

Через y_n (r) обозначим функцию

Радиальная собственная функция R_n (r) и y_n (r) суть соответственно решения уравнений

Умножим первое уравнение на y_n (r),второе – на R_n (r), вычтем из пер- вого второе и проинтегрируем по отрезку [ r_1, r₂. ]. В итоге получим

откуда следует, что

Здесь использованы соотношения, вытекающие из определения соб-

ственных значений и формулы для определителя Вронского

Из дифференциального уравнения для временной функции

поэтому умножая T_n (t) на собственную функцию, найдем ряд

Подставляя этот ряд в начальное условие, будем иметь

Ответ запишется в форме

где

236. Найдите распределение температуры внутри бесконечного круглого цилиндра радиуса l, если начальная температура и на поверхности цилиндра поддерживается нуле- вая температура.

237. Решите задачу о свободных колебаниях однородной круглой мемб- раны радиуса l, закрепленной по краю, если начальные скорости ее точек равны нулю, а начальное отклонение

Здесь положительный корень уравнения

Решите следующие смешанные задачи