Схема Бернулли. Пусть событие A с одной и той же вероятностью p наступает в одном, отдельно взятом испытании. Требуется найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит k раз (k ≤ n).
Формула Бернулли. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p, это событие произойдет 
раз (k ≤ n), вычисляют по формуле Pn (k)= 
pk (1– p) n-k.
Локальная приближенная формула Лапласа. При больших n вероятность того, что в условиях формулы Бернулли событие A при 
испытаниях появится k раз, вычисляют по формуле 
, где p – вероятность осуществления события A в одном испытании, 
, 
, причем φ(– x)=φ(x). Значения функции 
для различных 
находят по таблице.
Интегральная приближенная формула Муавра-Лапласа. При больших n вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие A при n испытаниях появится не менее k 1 раз и не более k 2 раз вычисляют по формуле Pn (k 1≤ k ≤ k 2)≈ Ф (x 2)– Ф (x 1), где 
, 
, 
. Значения функции 
– функции Лапласа – для различных значений x находят по таблице, причем Ф (– x)=– Ф (x). При | x |≥5 Ф (x)≈0,5.
Приближенная формула Пуассона. Если в условиях формулы Бернулли число испытаний n очень велико, а вероятность p появления события A в одном испытании очень мала, то вероятность появления раз события A при n испытаниях вычисляют по формуле 
, где a=np.
Пример 1. В магазин вошли восемь покупателей. Найдите вероятность того, что трое из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого равна 0,3.
Решение. Событие A – покупатель совершит покупку. Вероятность этого события для каждого покупателя (в каждом испытании) одинакова и равна 0,3 (p =0,3). Всего покупателей восемь (n =8). Событие A должно произойти три раза (k =3). Искомая вероятность равна P8(3)= 
(0,3)3(1–0,3)8-3≈0,25.
Ответ: 0,25.
Пример 2. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь сорок первого размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди ста покупателей потребуют обувь сорок первого размера: а) двадцать пять человек; б) от десяти до тридцати человек.
Решение. а) Событие A – покупатель потребует обувь сорок первого размера. В каждом из ста (n =100) независимых испытаниях событие A произойдет с вероятностью, равной 0,2 (p =0,2). Поскольку n велико (np (1– p) ≥ 10), вероятность того, что событие A произойдет двадцать пять раз (k =25), вычисляют по локальной приближенной формуле Лапласа:
.
б) Вероятность того, что событие A произойдет не менее десяти (k 1=10), не более тридцати раз (k 2=30) вычисляют по интегральной приближенной формуле Муавра-Лапласа:
.
Ответ: 0,046; 0,99.
Пример 3. Магазин получил тысячу бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найдите вероятность того, что магазин получит: а) ровно две разбитые бутылки; б) не менее двух разбитых бутылок.
Решение. а) Событие A – бутылка разбита – в каждом из тысячи испытаний (n =1000) имеет вероятность 0,003 (p =0,003). Поскольку вероятность p мала, а число испытаний велико, вероятность того, что из тысячи бутылок ровно две (k =2) окажутся разбитыми, вычисляют по приближенной формуле Пуассона:
.
б) События B – разбитыми окажутся не менее двух из тысячи бутылок (2≤ k ≤1000), то есть или две, или три, …, или тысяча. Вероятность этого события равна сумме вероятностей P 1000(2), P 1000(3),…, P 1000(1000). Для ее вычисления нужно найти по приближенной формуле Пуассона 999 вероятностей и сложить их. С другой стороны, противоположным событию B является событие 
– разбитыми окажутся менее двух из тысячи бутылок (k< 2), то есть или ни одной, или одна. Вероятность события равна сумме вероятностей P 1000(0), P 1000(1). Искомую вероятность события B можно вычислить следующим образом: P (B)=1– P ()=1–(P 1000(0)+ P 1000(1))=1–(0,05+0,149)=0,801.
Ответ: 0,224; 0,801.
Упражнения.
7 .4.1. Игрок набрасывает кольца на колышек, вероятность удачи при этом равна 0,1. Найдите вероятность того, что из шести колец на колышек попадут два. Ответ: 0,09.
7 0.4.2. В среднем каждый восьмой договор со страховой кампанией завершается страховым случаем. Кампания заключила шесть договоров. Найдите вероятность того, что страховой случай наступит: а) один раз; б) не более двух раз; в) хотя бы один раз. Ответ: 0,38; 0,84; 0,55.
7 .4.3. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Найдите вероятность того, что из десяти посеянных семян взойдут: а) ровно шесть; б) не менее трех; в) по крайней мере восемь. Ответ: 0,67; 0,998; 0,38.
7 .4.4. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,7. Проведено десять бросков, Что вероятнее: он забросит мяч в корзину шесть или восемь раз? Ответ: 8 раз.
7.4.5. Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Найдите вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет: а) 90 мальчиков; б) 110 мальчиков; в) от 90 до 110 мальчиков. Ответ: 0,02; 0,02; 0,84.
7.4.6. В жилом доме 6000 ламп. Вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найдите вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между 2800 и 3200. Ответ: 1.
7.4.7. На сборы приглашают 120 спортсменов. Вероятность того, что случайно выбранный спортсмен выполнит норматив, равна 0,7. Определите вероятность того, что выполнят норматив: а) ровно 80 спортсменов; б) не менее 80 спортсменов. Ответ: 0,058; 0,785.
7 .4.8. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдутся: а) ровно 4 левши; б) не менее 4 левши? Ответ: 0,09; 0,14.
7 .4.9. Вероятность госпитализации пациента при эпидемии гриппа равна 0,002. Найдите вероятность того, что из 2000 заболевших поликлиника направит на госпитализацию не более 5 пациентов. Ответ: 0,4.
7.4.10. Вероятность того, что двигатель проработает исправно гарантийный срок, равна 0,75. Определить вероятность того, что из 4-х двигателей не менее двух проработают гарантийный срок исправно.
7.4.11. Устройство состоит из четырех узлов, функционирующих независимо друг от друга. Для того, чтобы устройство функционировало, необходимо исправное состояние не менее, чем двух узлов. Считая вероятность исправного состояния узла равной 0,9; найти вероятность нормального функционирования устройства.
7.4.12. При пересадке в среднем 22% всех саженцев погибают. Найти наивероятнейшее число прижившихся саженцев из четырех пересаженных и вероятность такого числа их среди имеющихся.
7.4.13. Всхожесть поступившей партии семян льна составляет в среднем 90%. Найти вероятность того, что из 12 посеянных семян взойдут: а) 8; б) не менее 10.
7.4.14. После года хранения на складе в среднем 10% всех аккумуляторов выходят из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 6 аккумуляторов среди них будет более половины неисправных.
7.4.15. На склад поступило 100 ящиков стеклотары. Вероятность того, что в любом наудачу взятом ящике все стеклобанки окажутся целыми, равна 0,95. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все стеклобанки окажутся целыми.
7.4.16. Среди семян ржи 0,4% сорняков. Какова вероятность того, что среди случайно отобранных 1000 семян 7 семян сорняков?
7.4.17. Вероятность того, что яйцо будет разбито при транспортировке, равна 0,01. Найти вероятность того, что из 5000 перевезенных яиц окажутся битыми не более 1%?
7.4.18. Вероятность изготовления бракованного генератора для тракторного двигателя равна 0,001. Определить вероятность того, что из 3000 генераторов окажется а) 2 бракованных; б) не более 2-х бракованных.
7.4.19. Проводится серия измерений некоторой величины. Вероятность неверного показания прибора оценивается величиной 0,025. Найти вероятность того, что из 100 измерений неверных показаний будет не более двух.
7.4.20. Среди семян пшеницы имеется 0,2% семян сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 5000 семян будет не менее 5 семян сорняков.
7.4.21. Вероятность того, что саженец приживется, равна 0,95. Найти вероятность того, что из 100 посаженных деревьев приживется: а) 97; б) не менее 95.
7.4.22. Найти вероятность того, что среди посеянных трехсот семян взойдет не менее половины, если всхожесть данного сорта семян составляет 75%.
7.4.23. На птицеферму поступило 200 гусят. Вероятность того, что гусенок выживет, равна 0,7. Определить вероятность того, что из поступивших гусят выживет: а) 150; б) не менее 130.
7.4.24. Изделия I сорта составляют в среднем 80% изделий данного предприятия. Какова вероятность того, что в партии из 5000 изделий первосортных окажется: а) ровно 3920; б) менее 3920.
7.4.25. В лесхозе приживаются в среднем 80% саженцев. Сколько саженцев надо посадить, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что доля прижившихся находится в границах от 0,75 до 0,85 включительно?
7.4.26. Посажено 600 семян с вероятностью прорастания 0,9 для каждого семени. Найти абсолютную величину отклонения частости проросших семян от вероятности 0,9, если эта величина отклонения должна быть гарантирована с вероятностью 0,9951.
7.4.27. Вероятность того, что саженец приживется, равна 0,8. Найти вероятность того, что из 500 саженцев приживется не менее 420.
7.4.28. В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 80% всхожести. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было ожидать, что доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени не более, чем на 0,02 по абсолютной величине?
7.4.29. По гипотезе Менделя, при скрещивании желтого (гибридного) гороха с зеленым, вероятность появления зеленого гороха равна ¼. Какова вероятность того, что при 34153 скрещиваниях зеленый горох будет получен от 8493 до 8507 раз.
7.4.30. Всхожесть семян кукурузы оценивается вероятностью 0,87. Определить вероятность того, что из 2500 посеянных семян число взошедших будет заключено в границах от 1960 до 2020 включительно?
7.4.31. При испытании нового медицинского препарата на животных оказалось, что он дает побочные явления в 5% случаев. Клинические испытания предполагается провести на 2 тысячах животных. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 будет заключена доля животных с побочными явлениями от нового препарата.
7.4.32. Организация направляет заявки на приобретение необходимой с/х продукции. Вероятность удовлетворения заявки равна 0,8. Определить наименьшее количество заявок, которое необходимо направить, чтобы вероятность удовлетворения хотя бы одной из них была не меньше, чем 0,95.
7 .5. Случайные величины.
Переменную 
называют случайной величиной, если в результате испытания она однозначно принимает некоторое числовое значение, но какое именно, до испытания неизвестно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Закон распределения вероятностей случайной величины называют множество ее значений и соответствующих этим значениям вероятностей.
Случайные величины X 1, X 2,…, Xn называют независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае случайные величины X 1, X 2,…, Xn называют зависимыми.
Числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Математическое ожидание M (X) случайной величины X – это среднее значение этой случайной величины. Дисперсия D (X) случайной величины X – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от своего математического ожидания: D (X)= M (X – M (X))2. Дисперсию можно вычислять по формуле: D (X)= M (X 2)–(M (X))2. Стандартное отклонение σ(X) случайной величины X – это корень из дисперсии: σ(X)= 
.
Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: M (c)= c.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (cX)= cM (X).
3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
M (X 1± X 2±…± Xn)= M (X 1)± M (X 2)±…± M (Xn).
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M (X 1 X 2… Xn)= M (X 1) M (X 2)… M (Xn).
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной равна нулю: D (c)=0.
2. Константа выносится за знак дисперсии с возведением в квадрат: D (cX)= c 2 D (X).
3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий:
D (X 1± X 2±…± Xn)= D (X 1)+ D (X 2)+…+ D (Xn).
4. Дисперсия произведения независимых случайных величин X, Y равна разности произведений математических ожиданий квадратов случайных величин и произведений квадратов математических ожиданий случайных величин:
D (XY)= M (X 2) M (Y 2)–(M (X))2(M (Y))2.
