Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см. Разность отрезков BD-AD=5 см.
Найти: Стороны треугольника ABC.
Решение.
1. Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора
CD2+BD2=BC2
CD2+AD2=AC2
поскольку CD=6
36+BD2=BC2
36+AD2=AC2
Поскольку BD-AD=5, то
BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид
36+(AD+5)2=BC2
36+AD2=AC2
Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой - равенство не будет нарушено. Получим:
36+36+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2
72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2
2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:
AC2+BC2=AB2
Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид:
AC2+BC2=(AD+BD)2
Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда
AC2+BC2=(AD+AD+5)2
3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:
72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2
AC2+BC2=(AD+AD+5)2
Они имеют общую часть AC2+BC2 . Таким образом, приравняем их друг к другу.
72+(AD+5)2+AD2=(AD+AD+5)2
72+AD2+10AD+25+AD2=4AD2+20AD+25
-2AD2-10AD+72=0
В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:
х1=-3,5
x2=4
Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.
AD=4
Соответственно
BD = AD + 5 = 9
AB = BD + AD = 4 + 9 = 13
По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:
AC = корень из (52)
BC = корень из (117).
Сумма углов треугольника
Задача.
Один из углов треугольника на 30 градусов меньше другого и в 7 раз больше третьего.найти углы треугольника
Решение.
Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Обозначим третий угол как х.
Тогда другой относительно него будет равен (и в семь раз больше третьего) 7х, а первый (на тридцать градусов меньше другого, значит - другой на тридцать градусов больше), соответственно, 7х + 30.
Получим уравнение:
х + 7х + (7х + 30) = 180
15х + 30 = 180
15х = 150
х=10
Находим остальные углы. 7х = 70, а 7х+30 = 100
Ответ: 10, 70, 100
Задача.
Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота CD. Найти величину угла BCD если угол А равен 65 градусам.
Решение.
Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, построим следующие рассуждения:
Величины углов ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Так как угол С - прямой, то
65 + ∠B + 90 = 180
B = 25°
Теперь, поскольку CD - высота, то треугольник BCD - прямоугольный, откуда
∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°
25 + 90 + ∠BCD =180°
∠BCD =65°
Ответ: 65 градусов
Площадь треугольника
Примечание. Это урок с задачами по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √
Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника. Если же треугольник обладает особыми свойствами, обратитесь также к специальным формулам - см. например "Формулы площади равнобедренного треугольника".
Площадь треугольника можно найти по следующим формулам:
Пояснения к формулам:
a, b, c - длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r - радиус вписанной окружности
R - радиус описанной окружности
h - высота треугольника, опущенная на сторону
p - полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон
Например, формула 1 говорит, что площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена
Формула 2 говорит о том, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (см. пример решения ниже).
См. также площадь равнобедренного треугольника.
Задача
Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.
Решение.
Площадь трегольника равна S=1/2 ab sin C
Соответственно S=1/2 *5*6*sin60
S=15√3 / 2
Примечание- sqrt используется вместо знака квадратного корня.
Ответ: 7,5 √3
Задача
Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.
Решение.
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:
S = √3 / 4 * a2
S = √3 / 4 * 32
S = 9 √3 / 4
Ответ: 9 √3 / 4.
Задача
Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?
Решение.
Используем формулу Герона.
S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
Если стороны увеличены в 4 раза, то
S2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений. Тогда
S2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
Теперь, определим соотношения площадей
S2 / S = 16
Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз
Биссектриса
Биссектриса
Задача.
Биссектриса угла A треугольника ABC делит сторону BC на отрезки BK = 8 см и KC = 18 см. Определите длину стороны AC, если длина стороны AB = 12 см.
Решение.
Для решения задачи потребуется знание следующей теоремы:
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника.
Для условий данной задачи это означает:
BK/KC = AB/AC
8/18=12/x
x=27 см
Задача.
Найти отрезки, на которые биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC, если AB=6 BC=7 AC=8.
Решение.
Для решения задачи потребуется знание следующей теоремы:
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника.
Для условий данной задачи это означает:
BD/DC = AB/AC
BD/DC = 6/8
Обозначим BD = x, тогда DC = 7 - x
x / (7 - x) = 6/8
8x = 42 - 6x
14x = 42
x =3
Тогда DC = 4
Ответ: BD = 3, DC = 4 см
