Прямоугольный треугольник и его свойства. Теорема Пифагора

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике

И их значения от некоторых углов.

 

Прямоугольный треугольник и его свойства. Теорема Пифагора.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Если один из углов треугольника прямой, то это прямоугольный треугольник.

Стороны, образующие прямой угол, называются катетами; сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

 

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТЕУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника.

ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника.

ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника.

ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника.

СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

ТЕОРЕМА. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и прилежащим к нему ее отрезком, то есть , где

ТЕОРЕМА. Медиана, выходящая из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы.

ТЕОРЕМА. Катет, лежащий против угла в 30°равен половине гипотенузы.

ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник прямоугольный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике сторона, лежащая против угла в 30° равна половине другой стороны, то треугольник прямоугольный.

 

Задания с решением.

1. В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой, угол А равен 30°. На катете АС взята точка Е такая, что угол ВЕС равен 60°. Найти АС, если ЕС=8.

Решение:

Угол А равен 30°, значит угол В равен 60°. Угол ВЕС равен 60°, значит угол ЕВС равен 30⁰.Тогда угол ЕВА равен 60° ^- 30° = 30⁰ и значит треугольник АВЕ равнобедренный и АЕ=ЕВ. Из треугольника СВЕ следует, что ЕС= ЕВ, как катет, лежащий против угла в 30⁰°. Тогда ЕВ=2ЕС=16. АЕ=ЕВ=16. АС=ЕС+АЕ=16+87=24

Ответ: 24

 

2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами 10; 24; 26?

Решение:

Большая сторона равна 26. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон. 26²=676; 24² +10² =576+100=676. Квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, значит треугольник прямоугольный.

3. Катет прямоугольного треугольника больше другого катета на 10см, и меньше гипотенузы на 10 см. Найти гипотенузу.

Решение:

Пусть АС = х, тогда ВС = х - 10, АВ = х+10. По теореме Пифагора АС² +ВС² =АВ².

Получаем уравнение х² +(х – 10)² = (х + 10)²

х² + (х² _{_}– 20х + 100) = х² + 20х + 100

х² – 40х = 0. х = 0 (что не возможно) или х = 40

Ответ: 40

4. Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен . Найти его гипотенузу.

Решение:

Обозначим равные катеты треугольника за х, а гипотенузу за с. Тогда по теореме Пифагора получим х ² + х ² = с ². Откуда получаем 2 х ² = с ²; х ² = с ²; х = .

Найдем периметр и составим уравнение: + + c =

Умножим обе части на , получим: с + с + с = 3 ( +1)

с (1+1+ )= 3 ( +1). Тогда с =

Ответ: 3

5. В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны и . Найти длину гипотенузы.

Решение:

Пусть ВС= а, АВ= в. АС= с. Применим теорему Пифагора к треугольникам СВТ и САМ.

Получим систему уравнений:

Тогда

Складывая уравнения почленно, получаем , откуда , но и значит

Ответ: 10.

6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна . Найти гипотенузу, если один из катетов равен 6.

Решение:

Из треугольника АВН по теореме Пифагора имеем ; .

Откуда с_а = 4. Известно, Что если из вершины прямого угла на гипотенузу опущена высота, то каждый катет есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и прилежащим к нему ее отрезком. Тогда а² = c ∙ c_a 36 = с · 4, с = 9.

Ответ: 9