В треугольнике. Сумма углов в треугольнике. Внешний угол треугольника

Равнобедренный треугольник и его свойства. Средняя линия треугольника.

 

ТРЕУГОЛЬНИК – геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершин) и трех попарно соединяющих их отрезков (стороны). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположны вершины.

Сумма длин всех сторон треугольника называется периметром.

Треугольники различаются по величине углов: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные. Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; один из углов тупой то это тупоугольный треугольник.

По трем сторонам треугольника можно определить его вид.

ТЕОРЕМА. В треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный.

 

ТЕОРЕМА. В треугольнике квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

 

ТЕОРЕМА. В треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник тупоугольный.

 

Треугольники различаются по длине сторон: разносторонние, равнобедренные, равносторонние.

Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны, эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник равносторонний, если все его стороны равны.

 

Основные свойства треугольников.

ТЕОРЕМА. В любом треугольнике: против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Следствие. Все углы в равностороннем треугольнике равны.

ТЕОРЕМА. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то против большего из углов, заключенных между ними лежит и большая сторона и против большей из остальных сторон лежит больший угол.

ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180º.

Следствие. Каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60º.

Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол

 

 

ТЕОРЕМА. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

ТЕОРЕМА. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА. В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы).

 

ТЕОРЕМА. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника.

 

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

 

 

ТЕОРЕМА. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

 

 

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам.

ТЕОРЕМА. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности

 

 

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

ТЕОРЕМА. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.