1. Òåîðåìà Ôåðìà. (Ôåðìà Ïüåð (1601–1665ãã.) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê).
Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå ; â íåêîòîðîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà îíà ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.
Òîãäà, åñëè â òî÷êå ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ, òî îíà ðàâíà íóëþ, ò.å. .
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ôåðìà.
êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà îñè .
2. Òåîðåìà Ðîëëÿ. (Ðîëëü Ìèøåëü (1652–1719ãã.) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê)
Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà ,
ïðè÷åì: 1) íåïðåðûâíà íà ;
2) äèôôåðåíöèðóåìà íà ;
3) .
Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà , â êîòîðîé .
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ðîëëÿ.
êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà îñè .
3. Òåîðåìà Ëàãðàíæà. (Ëàãðàíæ Æîçåô-Ëóè (1736–1813ãã.) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê).
Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà ,
ïðè÷åì: 1) íåïðåðûâíà íà ;
2) äèôôåðåíöèðóåìà íà ;
Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà , ÷òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
.
Òîãäà: 1) íåïðåðûâíà íà , òàê êàê ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ëèíåéíîé ;
2) äèôôåðåíöèðóåìà íà , ò.å. âíóòðè èìååò ïðîèçâîäíóþ ;
3) ;
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ðîëëÿ ñóùåñòâóåò òî÷êà , â êîòîðîé , ò.å. . ¢
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ëàãðàíæà.
– ýòî óãëîâîé êîýôôèöèåíò ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè è êðèâîé ;
– ýòî óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê êðèâîé â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè .
Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà, â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà ñåêóùåé. Òàêèõ òî÷åê ìîæåò áûòü è íåñêîëüêî, íî
îáÿçàòåëüíî îäíà ñóùåñòâóåò.
Çàìå÷àíèå. Ðàâåíñòâî , ãäå íàçûâàþò ôîðìóëîé Ëàãðàíæà, èëè ôîðìóëîé êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé.
4. Òåîðåìà Êîøè. (Êîøè Îãþñòåí Ëóè (1789–1853ãã.) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê).
Ïóñòü ôóíêöèè è íåïðåðûâíû íà è äèôôåðåíöèðóåìû íà . Ïóñòü .
Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà , ÷òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
.
Ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Êîøè, èëè îáîáùåííîé ôîðìóëîé êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé.
Çàìå÷àíèå. Äëÿ âñåõ ÷åòûðåõ òåîðåì óêàçàííûå â ôîðìóëèðîâêå óñëîâèÿ ñóùåñòâåííû. Åñëè õîòÿ áû îäíî èç íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ, òî òåîðåìû íå ñïðàâåäëèâû.
Íàïðèìåð, íà íåïðåðûâíà, äèôôåðåíöèðóåìà, íî òàê êàê è , òî òåîðåìà Ðîëëÿ íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. íåò òàêîé òî÷êè , ãäå .
Ïðèìåð. Ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû Ðîëëÿ äëÿ ôóíêöèè íà è íàéòè .
¦ ,
, , . ˜
Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ
Òåîðåìà Ëîïèòàëÿ
(Ëîïèòàëü Ãèëüîí Ôðàíñóà (1661–1704) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê).
Òåîðåìà. Ïóñòü ôóíêöèè è îïðåäåëåíû è äèôôåðåíöèðóåìû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè , íî â ñàìîé òî÷êå ìîãóò áûòü è íå îïðåäåëåíû. Ïóñòü è â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè .
Òîãäà, åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë
(êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé), òî ñóùåñòâóåò è ïðåäåë , ïðè÷åì ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà .
Ýòó òåîðåìó íàçûâàþò ïðàâèëîì Ëîïèòàëÿ.
Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ðàñêðûâàåò íåîïðåäåëåííîñòü .
Çàìå÷àíèÿ.
1. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ èìååò ìåñòî è â ñëó÷àÿõ, êîãäà è .
2. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü è ïðè ðàñêðûòèè íåîïðåäåëåííîñòåé .
3. Åñëè îòíîøåíèå ïðîèçâîäíûõ ïðèâîäèò ê íåîïðåäåëåííîñòÿì è , òî ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü ïîâòîðíî.
Ïðèìåð 1.
.
Ïðèìåð 2. .