Ëåêöèè.Îðã


Ïîèñê:




Îñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ




 

1. Òåîðåìà Ôåðìà. (Ôåðìà Ïüåð (1601–1665ãã.) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê).

 

Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå ; â íåêîòîðîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà îíà ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.

Òîãäà, åñëè â òî÷êå ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ, òî îíà ðàâíà íóëþ, ò.å. .

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ôåðìà.

 

 

êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà îñè .

2. Òåîðåìà Ðîëëÿ. (Ðîëëü Ìèøåëü (1652–1719ãã.) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê)

Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà ,

ïðè÷åì: 1) íåïðåðûâíà íà ;

2) äèôôåðåíöèðóåìà íà ;

3) .

Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà , â êîòîðîé .

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ðîëëÿ.

 

êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà îñè .

3. Òåîðåìà Ëàãðàíæà. (Ëàãðàíæ Æîçåô-Ëóè (1736–1813ãã.) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê).

 

Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà ,

ïðè÷åì: 1) íåïðåðûâíà íà ;

2) äèôôåðåíöèðóåìà íà ;

 

Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà , ÷òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ

.

Òîãäà: 1) íåïðåðûâíà íà , òàê êàê ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ëèíåéíîé ;

2) äèôôåðåíöèðóåìà íà , ò.å. âíóòðè èìååò ïðîèçâîäíóþ ;

3) ;

Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ðîëëÿ ñóùåñòâóåò òî÷êà , â êîòîðîé , ò.å. . ¢

 

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ëàãðàíæà.

– ýòî óãëîâîé êîýôôèöèåíò ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè è êðèâîé ;

 

– ýòî óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê êðèâîé â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè .

 

Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà, â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà ñåêóùåé. Òàêèõ òî÷åê ìîæåò áûòü è íåñêîëüêî, íî

îáÿçàòåëüíî îäíà ñóùåñòâóåò.

Çàìå÷àíèå. Ðàâåíñòâî , ãäå íàçûâàþò ôîðìóëîé Ëàãðàíæà, èëè ôîðìóëîé êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé.

 

4. Òåîðåìà Êîøè. (Êîøè Îãþñòåí Ëóè (1789–1853ãã.) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê).

Ïóñòü ôóíêöèè è íåïðåðûâíû íà è äèôôåðåíöèðóåìû íà . Ïóñòü .

Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà , ÷òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

.

Ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Êîøè, èëè îáîáùåííîé ôîðìóëîé êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé.

Çàìå÷àíèå. Äëÿ âñåõ ÷åòûðåõ òåîðåì óêàçàííûå â ôîðìóëèðîâêå óñëîâèÿ ñóùåñòâåííû. Åñëè õîòÿ áû îäíî èç íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ, òî òåîðåìû íå ñïðàâåäëèâû.

Íàïðèìåð, íà íåïðåðûâíà, äèôôåðåíöèðóåìà, íî òàê êàê è , òî òåîðåìà Ðîëëÿ íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. íåò òàêîé òî÷êè , ãäå .

Ïðèìåð. Ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû Ðîëëÿ äëÿ ôóíêöèè íà è íàéòè .

¦ ,

, , . ˜

Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ

Òåîðåìà Ëîïèòàëÿ

(Ëîïèòàëü Ãèëüîí Ôðàíñóà (1661–1704) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê).

 

Òåîðåìà. Ïóñòü ôóíêöèè è îïðåäåëåíû è äèôôåðåíöèðóåìû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè , íî â ñàìîé òî÷êå ìîãóò áûòü è íå îïðåäåëåíû. Ïóñòü è â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè .

Òîãäà, åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë

(êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé), òî ñóùåñòâóåò è ïðåäåë , ïðè÷åì ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà .

Ýòó òåîðåìó íàçûâàþò ïðàâèëîì Ëîïèòàëÿ.

 

Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ðàñêðûâàåò íåîïðåäåëåííîñòü .

Çàìå÷àíèÿ.

1. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ èìååò ìåñòî è â ñëó÷àÿõ, êîãäà è .

2. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü è ïðè ðàñêðûòèè íåîïðåäåëåííîñòåé .

3. Åñëè îòíîøåíèå ïðîèçâîäíûõ ïðèâîäèò ê íåîïðåäåëåííîñòÿì è , òî ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü ïîâòîðíî.

Ïðèìåð 1.

.

 

Ïðèìåð 2. .

 





Ïîäåëèòüñÿ ñ äðóçüÿìè:


Äàòà äîáàâëåíèÿ: 2016-10-30; Ìû ïîìîæåì â íàïèñàíèè âàøèõ ðàáîò!; ïðîñìîòðîâ: 3839 | Íàðóøåíèå àâòîðñêèõ ïðàâ


Ïîèñê íà ñàéòå:

Ëó÷øèå èçðå÷åíèÿ:

×åëîâåê, êîòîðûì âàì ñóæäåíî ñòàòü – ýòî òîëüêî òîò ÷åëîâåê, êîòîðûì âû ñàìè ðåøèòå ñòàòü. © Ðàëüô Óîëäî Ýìåðñîí
==> ÷èòàòü âñå èçðå÷åíèÿ...

803 - | 763 -


© 2015-2024 lektsii.org - Êîíòàêòû - Ïîñëåäíåå äîáàâëåíèå

Ãåí: 0.009 ñ.