![]() Поиск: Рекомендуем: ![]() ![]() ![]() ![]() Категории: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Основные характеристики функцииСОДЕРЖАНИЕ Глава I. ФУНЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ § 1. Множества............................................................................................................................ 2 § 2. Понятие функции................................................................................................................ 4 § 3. Основные характеристики функции................................................................................. 5 § 4. Классификация функций.................................................................................................... 6 4.1. Обратная функция........................................................................................................ 6 4.2. Сложная функция......................................................................................................... 7 4.3. Основные элементарные функции и их графики..................................................... 8 § 5. Числовые последовательности........................................................................................... 10 § 6. Предел функции.................................................................................................................. 12 6.1. Предел функции в точке.............................................................................................. 12 6.2. Предел функции при 6.3. Теоремы о пределах функций..................................................................................... 13 6.4. Два замечательных предела......................................................................................... 14 § 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции....................................................... 16 7.1. Бесконечно большие функции и их свойства.......................................................... 16 7.2. Бесконечно малые функции и их свойства............................................................... 16 7.3. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.................... 17 7.4. Сравнение бесконечно малых функций.................................................................... .18 § 8. Вычисление пределов функций......................................................................................... 19 § 9. Непрерывность функции.................................................................................................... 21 9.1.Односторонние пределы............................................................................................... 21 9.2. Понятие непрерывности функции............................................................................. 21 9.3. Классификация точек разрыва функции.................................................................... 22 9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке........................................................... 24 Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл................................ 25 10.1. Определение производной..................................................................................... 25 10.2.Геометрический смысл производной..................................................................... 26 10.3. Физический смысл производной........................................................................... 27 § 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций.............................................................................................................................. 27 11.1. Правила дифференцирования................................................................................ 27 11.2. Производные элементарных функций................................................................... 28 11.3. Логарифмическое дифференцирование............................................................... .30 11.4. Производные высших порядков............................................................................ 31 11.5. Производная неявной функции............................................................................. 32 11.6. Производная функции, заданной параметрически.............................................. 33 § 12. Дифференциал функции................................................................................................... 33 § 13. Основные теоремы дифференциального исчисления................................................... 33 § 14. Правило Лопиталя............................................................................................................. 37 14.1. Теорема Лопиталя..................................................................................................... 37 14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие................................................ 38 § 15.Исследование функций при помощи производных...................................................... 39 15.1. Признак монотонности функции. Необходимое условие экстремума функции................................................................................................ 39 15.2. Достаточные условия экстремума......................................................................... 40 15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.......................... 41 15.4. Асимптоты графика функций................................................................................. 42 15.5. Общая схема исследования функции .................................................................... 43 15.6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.................................. 45 Литература................................................................................................................................... 46 Глава I. ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Множества
1.Множеством называется совокупность, система, семейство некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество студентов университета, множество корней уравнения, множество натуральных чисел. Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества. Элементы множества обозначаются соответственно строчными буквами латинского алфавита: Например, Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так: Элементы множества записываются в фигурных скобках, в которых они перечислены или в скобках может быть указано свойство, которым обладают все элементы данного множества. Например, Множество Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Если Объединением (или суммой) множеств Пересечением (или произведением) множеств Разностьюмножеств 2. Для сокращения записей используются некоторые логические символы:
Например, 3. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Например:
Между этими множествами существует соотношение Множество Например:
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами. Это бесконечные непериодические дроби. Например, 4.Пусть Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
Числа Пусть точка Окрестностью точки Интервал
Если
Это означает попадание точки
Понятие функции Одним из основных понятий математики является понятие функции. Оно связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств. Определение. Если каждому элементу Переменную Кроме буквы
Примеры. 1) 2)
3)
4)
Если элементами множеств Частное значение функции при Например, График функции
Способы задания функции. 1. Аналитический: функция задается с помощью одной или нескольких формул, или уравнений. Если область определения функции не указана, то она совпадает со множеством всех значений аргумента, при которых указанная формула имеет смысл.
2.Графический: задается график.
3.Табличный: с помощью таблицы ряда значений аргумента и соответствующих значений функции, полученных в результате некоторого опыта. 4.Словесный: функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле
Основные характеристики функции 1.Функция График четной функции симметричен относительно оси Например, функция 2. Пусть функция Если для любых 1) 2) 3) 4) Во всех рассмотренных случаях функции называются монотонными, авозрастающая и убывающая функции строго монотонными.
на 3. Функция
4. Функция
График ограниченной функции расположен между прямыми Классификация функций Обратная функция Пусть Функция
Например, функции Из определения обратной функции следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная. При этом если Например, функция
На этом промежутке существует обратная ей функция
Сложная функция Пусть функция Например,
Дата добавления: 2016-10-30; просмотров: 1648 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов Читайте также:
Рекомендуемый контект: Поиск на сайте:
|