Поиск:
Рекомендуем:
Почему я выбрал профессую экономиста
Почему одни успешнее, чем другие
Периферийные устройства ЭВМ
Нейроглия (или проще глия, глиальные клетки)
Категории:
Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника
Основные характеристики функции
СОДЕРЖАНИЕ
Глава I. ФУНЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ
§ 1. Множества............................................................................................................................ 2
§ 2. Понятие функции................................................................................................................ 4
§ 3. Основные характеристики функции................................................................................. 5
§ 4. Классификация функций.................................................................................................... 6
4.1. Обратная функция........................................................................................................ 6
4.2. Сложная функция......................................................................................................... 7
4.3. Основные элементарные функции и их графики..................................................... 8
§ 5. Числовые последовательности........................................................................................... 10
§ 6. Предел функции.................................................................................................................. 12
6.1. Предел функции в точке.............................................................................................. 12
6.2. Предел функции при 
................................................................................... 13
6.3. Теоремы о пределах функций..................................................................................... 13
6.4. Два замечательных предела......................................................................................... 14
§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции....................................................... 16
7.1. Бесконечно большие функции и их свойства.......................................................... 16
7.2. Бесконечно малые функции и их свойства............................................................... 16
7.3. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.................... 17
7.4. Сравнение бесконечно малых функций.................................................................... .18
§ 8. Вычисление пределов функций......................................................................................... 19
§ 9. Непрерывность функции.................................................................................................... 21
9.1.Односторонние пределы............................................................................................... 21
9.2. Понятие непрерывности функции............................................................................. 21
9.3. Классификация точек разрыва функции.................................................................... 22
9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке........................................................... 24
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл................................ 25
10.1. Определение производной..................................................................................... 25
10.2.Геометрический смысл производной..................................................................... 26
10.3. Физический смысл производной........................................................................... 27
§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных
функций.............................................................................................................................. 27
11.1. Правила дифференцирования................................................................................ 27
11.2. Производные элементарных функций................................................................... 28
11.3. Логарифмическое дифференцирование............................................................... .30
11.4. Производные высших порядков............................................................................ 31
11.5. Производная неявной функции............................................................................. 32
11.6. Производная функции, заданной параметрически.............................................. 33
§ 12. Дифференциал функции................................................................................................... 33
§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления................................................... 33
§ 14. Правило Лопиталя............................................................................................................. 37
14.1. Теорема Лопиталя..................................................................................................... 37
14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие................................................ 38
§ 15.Исследование функций при помощи производных...................................................... 39
15.1. Признак монотонности функции. Необходимое условие
экстремума функции................................................................................................ 39
15.2. Достаточные условия экстремума......................................................................... 40
15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.......................... 41
15.4. Асимптоты графика функций................................................................................. 42
15.5. Общая схема исследования функции .................................................................... 43
15.6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.................................. 45
Литература................................................................................................................................... 46
Глава I. ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ
Множества
1.Множеством называется совокупность, система, семейство некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество студентов университета, множество корней уравнения, множество натуральных чисел.
Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: 
.
Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.
Элементы множества обозначаются соответственно строчными буквами латинского алфавита: 
Например, 
– элемент 
принадлежит множеству 
; 
–элемент 
не принадлежит множеству ;
Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так: 
Элементы множества записываются в фигурных скобках, в которых они перечислены или в скобках может быть указано свойство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, 
– множество 
состоит из трех чисел 1, 8, 6 ; 
– множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 
.
Множество называется подмножеством множества 
, если каждый элемент множества является элементом множества . Обозначается подмножество так: 
( включено в ) или 
(множество включает в себя множество ).
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Если и 
, то 
, следовательно, говорят, что множества и равны илисовпадают.
Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному их этих множеств. Записывают 
или 
.
Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множеству и множеству . Записывают 
или 
.
Разностьюмножеств и называется совокупность тех элементов , которые не содержатся в . Записывают 
.
2. Для сокращения записей используются некоторые логические символы:
- следует, т.е. из предложения 
следует предложение 
;
- равносильно, т.е. и 
;
- для любого, для всякого;
- существует, найдется;
- имеет место, такое что;
- соответствие.
Например, 
– для любого элемента 
из множества имеет место предложение 
; 
объединение множеств и .
3. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.
Например:
– множество натуральных чисел;
– множество целых неотрицательных чисел;
– множество целых чисел;
– множество рациональных чисел;
– множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение 
.
Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается дробью.
Например:
– ( конечная десятичная дробь); 
– (бесконечная периодическая дробь).
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами. Это бесконечные непериодические дроби.
Например, 
, 
.
4.Пусть и – действительные числа, причем 
.
Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
– отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
– интервал (открытый промежуток);
| – полуоткрытые интервалы; | |||
| ||||
| – бесконечные интервалы; | |||
| ||||
| ||||
| ||||
Числа и называются соответственно левым и правым концами промежутков. Символы 
и 
не числа, это символическое обозначение неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.
Пусть точка 
–любое действительное число (точка на числовой прямой).
Окрестностью точки 
называется любой интервал 
, содержащий точку .
Интервал 
, где 
, называется 
–окрестностью точки ,число – центр интервала, число – радиус интервала.
Если 
, то выполняется неравенство 
.
Это означает попадание точки 
в – окрестность точки .
Понятие функции
Одним из основных понятий математики является понятие функции. Оно связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.
Определение. Если каждому элементу 
соответствует единственный элемент 
, то говорят, что на множестве 
задана функция 
( 
- знак функции).
Переменную 
называют аргументом или независимой переменной, а переменную 
– зависимой переменной от х; множество 
– областью определения функции 
, а множество 
– множеством значений функции 
, – закон соответствия. – множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Кроме буквы для обозначения функций используют и другие буквы греческого и латинского алфавитов: 
, 
, 
, 
и так далее.
Примеры.
1) 
, 
.
2) 
, 
.
3) 
или 
, 
.
4) 
, 
.
Если элементами множеств и 
являются действительные числа, то функция называется числовой.
Частное значение функции при 
обозначают так: 
.
Например, 
График функции 
– это множество точек плоскости с координатами 
, где 
, для каждой из которых является значением аргумента, а 
является соответствующим значением функции.
Способы задания функции.
1. Аналитический: функция задается с помощью одной или нескольких формул, или уравнений.
Если область определения функции не указана, то она совпадает со множеством всех значений аргумента, при которых указанная формула имеет смысл.
2.Графический: задается график.
3.Табличный: с помощью таблицы ряда значений аргумента и соответствующих значений функции, полученных в результате некоторого опыта.
4.Словесный: функция описывается правилом ее составления.
Например, функция Дирихле 
, если 
, если – иррациональное.
Основные характеристики функции
1.Функция 
, определенная на множестве 
, область опреления которой симметрична относительно начала координат, называется: четной, если 
выполняются условия 
и 
; нечетной, если выполняются условия и 
. В противном случае функция называется функцией общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси 
, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, функция 
- четная, а функция 
–функция общего вида.
2. Пусть функция определена на множестве 
, интервал 
.
Если для любых 
и 
из интервала 
, причем 
, выполняется неравенство:
1) 
, то функция называется неубывающей на 
;
2) 
, то функция называется невозрастающей на ;
3) 
, то функция называется возрастающейна ;
4) 
, то функция называется убывающей на .
Во всех рассмотренных случаях функции называются монотонными, авозрастающая и убывающая функции строго монотонными.
Например, на рисунке функция на 
строго монотонная;
на 
монотонная.
3. Функция , определенная на множестве , называется периодическойна этом множестве с периодом 
, где – положительное число, если выполняются условия: 
и 
. Если – период, то периодом функции также будут числа 
, где 
Например, для функции 
периодами будут числа 
4. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число 
, что для всех 
выполняется неравенство 
. Коротко можно записать так:
.
График ограниченной функции расположен между прямыми 
и 
. Например, функция 
ограничена, так как 
.
Классификация функций
Обратная функция
Пусть функция от с областью значений . Пусть, кроме того, каждому значению соответствует только одно значение . Тогда на множестве определена функция 
с областью значений , обладающая свойством 
для любого из множества .
Функция 
называется обратной к функции . Если – обратная функция к 
, то функция – обратная функция к . Про функции и 
говорят, что они являются взаимно обратными.
Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение 
относительно . Традиционно независимую переменную обозначают , а зависимую .
Например, функции 
и 
взаимно обратные. Графики их симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.
Из определения обратной функции следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная. При этом если возрастает, то и также возрастает.
Например, функция 
на 
строго возрастает.
На этом промежутке существует обратная ей функция 
, которая также возрастает.
Сложная функция
Пусть функция определена на множестве , а функция 
определена на множестве 
, причем 
соответствующее значение 
. Тогда функция 
, определенная на множестве , называется сложной функцией ( или суперпозицией заданных функций или функцией от функции) с аргументом 
.
Например, 
– сложная функция, аргумент 
.
Дата добавления: 2016-10-30; просмотров: 1454 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
