Геометрический смысл производной

Пусть функция определена и непрерывна на некотором интервале. Пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , а точка – значению , где – приращение аргумента. Проведем через точки и прямую и назовем ее секущей.

Определение. Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по графику к точке (или, что то же самое, при ).

Пусть – угол между секущей и осью , – угол между касательной и осью .

На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен .

Из определения касательной следует, что угловой коэффициент касательной равен

 

Следовательно, угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , равен значению производной функции в этой точке.

Определение. Прямая , перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к графику функции.

 

– уравнение касательной,

– уравнение нормали,

где .

Физический смысл производной

Пусть функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, в том смысле, что значение - это путь, пройденный точкой за время . Тогда – это мгновенная скорость точки в момент времени .

Правила дифференцирования функций

И производные элементарных функций

Правила дифференцирования

Пусть функции и дифференцируемы.

Тогда:

;

;

;

Производную сложной функции находим по формуле:

.

11.2. Производные элементарных функций

Используя определение производной, можно показать, что – производная постоянной функции;

– производная степенной функции.

 

Выведем производные остальных элементарных функций.

Производные тригонометрических функций.

 

1.

(применили первый замечательный предел)

 

т.е. .

2.

(применили первый замечательный предел)

т.е .

 

3.

т.е. .

4.

т.е. .

 

Производная логарифмической функции.

 

(умножили и разделили на ) (применили второй замечательный предел)

 

т.е. .

Частный случай: .

 

Производная обратной функции. Производная показательной функции.

 

1. Теорема. Если в точке имеет , то обратная ей функция также в точке имеет , причем

.

2. Показательная функция , обратная ей функция .

,

т.е. .

Частный случай: .

 

Производные обратных тригонометрических функций.

 

1. Пусть функция , где ,

тогда – обратная ей функция,

 

.

Знак «+» перед корнем, так как функция неотрицательна на отрезке .

Следовательно, .

 

Аналогично получаем: .

2. Пусть функция , где ,

тогда - обратная ей функция,

.

 

Следовательно, .

 

Аналогично получаем: .