Лекции.Орг
 

Категории:


Объективные признаки состава административного правонарушения: являются общественные отношения, урегулированные нормами права и охраняемые...


Транспортировка раненого в укрытие: Тактика действий в секторе обстрела, когда раненый не подает признаков жизни...


ОБНОВЛЕНИЕ ЗЕМЛИ: Прошло более трех лет с тех пор, как Совет Министров СССР и Центральный Комитет ВКП...

Числовые последовательности. Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция натурального аргумента, т.е



 

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция натурального аргумента, т.е. функция, определенная на множестве . Она записывается или сокращенно , где элементы или члены числовой последовательности;

номер члена последовательности;

общий или -ый член последовательности.

Последовательность считается заданной, если известна формула для .

Например,

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство , т.е. .

Например, – ограничена, так как ;

– неограничена.

Можно заметить, что члены последовательности при , неограниченно приближаются к .

В этом случае говорят, что число 1 называется пределом данной последовательности.

 

Определение. Число называется пределом последовательности при , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число (зависящее от ), что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство . При этом пишут: и говорят, что последовательность сходится к числу .

Определение можно записать с помощью логических символов:

Геометрический смысл предела последовательности.

Неравенство равносильно неравенству , которое показывает, что принадлежит – окрестности точки .

Геометрически определение предела последовательности можно сформулировать так:число называется пределом последовательности , если для любой – окрестности точки найдется такое число , что все значения , для которых , попадут в – окрестность точки .

Из рисунка видно, что в – окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее - конечное число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Не всякая последовательность имеет предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся (обозначается ).

 

Сформулируем признак существования предела последовательности.

ТеоремаВейерштрасса.Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Например:

1) Последовательность – монотонно убывает и ограничена, следовательно, .

2) Последовательность – монотонно возрастает и ограничена, следовательно, .

Можно показать, что число , является основанием натурального логарифма .

Предел функции

Предел функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , причем в самой точке функция может быть и не определена.

Определение. Число называется пределом функции в точке ( или при ), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают .

Коротко можно записать так:

Геометрический смысл:

, если для любой – окрестности точки найдется такая – окрестность точки , что для всех из этой –окрестности соответствующие значения функции лежат в – окрестности точки . Т.е. точки графика лежат внутри полосы шириной , ограниченной линиями и . Очевидно, что величина зависит от . Поэтому пишут .

Пример 1. Доказать, что .

¦ Возьмем произвольное число . Найдем по этому такое значение , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуя последнее неравенство, получаем или . Отсюда видно, что если взять , то для всех , удовлетворяющих , выполняется неравенство . Это и означает, что . ¢

Пример 2.Доказать, что .

¦ Для любого можно взять любое . Тогда при , имеем . ¢

 

6.2. Предел функции при

 

Пусть функция определена на .

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко можно записать так:

Геометрический смыслэтого определения таков: , что при или при соответствующие значения функции попадают в – окрестность точки , т.е. точки графика лежат в полосе шириной , ограниченной прямыми и .

Сформулируем теперь понятие предела функции при .

Определение. Число называется пределом функции при (соответственно при ), если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству (соответственно ), выполняется неравенство .

Если , то пишут .

Если , то пишут .





Дата добавления: 2016-10-30; просмотров: 762 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. A, Q - не являются функциями состояния. Нельзя говорить о законе работы и теплоты
  2. I. ФУНКЦИЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
  3. II. Актуализация субъектного опыта. -Сегодня мы окажемся в необыкновенном городе, расположенном в стране Умных Пальчиков, который называется Город Мастеров
  4. II. Вторая стадия. Функция производительного капитала
  5. II. Производство. Производственная функция
  6. А 17.К внешней функции государства относится функция
  7. Анализ экономической проблемы, для которой используется функция АПЛ
  8. Асинхронным двигателем называется двигатель переменного тока, у которого частота вращения ротора меньше частоты вращения магнитного поля статора и зависит от нагрузки на валу
  9. Бесконечно большая функция
  10. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
  11. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
  12. Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.