Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Пусть А и В – два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число 
(при этом В¹V). Обозначают Р(А/В).
Из этого определения следует, что Р(АВ)=Р(В)Р(А/В), т.е. вероятность произведения двух совместных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.
Пример 10. Из колоды в 36 карт поочередно достают две карты. Найти вероятность того, что вторым вынут червовый король, если первая карта – король черной масти.
Решение. Событие А состоит в одновременном наступлении двух совместных событий: А2 – вынут король червей и А1 – вынут король черной масти. При этом наступление события А2 зависит от наступления события А1. Найдем вероятности каждого из событий А1 и А2.
(т.к. в колоде всего 36 карт и мы берем 1 карту). N(A1) = 2 (т.к. в колоде 2 короля черной масти). Тогда 
.
(т.к. мы одну карту из колоды вынули). N(A2) = 1 (т.к. в колоде 1 король червей и мы вынули не его). Тогда 
.
Теперь найдем вероятность события А:
.
Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не влияет на вероятность наступления события А.
ТЕОРЕМА 3: (теорема умножения вероятностей). Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(АВ)=Р(В)Р(А)
События А1, А2, …, Ап называются независимыми, если любые два из них попарно независимы и выполняется равенство Р(А1А2…Ап)= Р(А1)Р(А2)…Р(Ап).
Пример 11. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?
Решение. Пусть А1 – из первой урны извлечен белый шар; А2 – из второй урны также извлечен белый шар. Очевидно, что события А1 и А2 – независимы. Р(А1) = 
, Р(А2) = 
.
По теореме: Р(А1А2) = 
.
Пример 12. В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и по одной задаче. Всего составлено 28 билетов. Вычислить вероятность того, что, вынув наудачу билет, студент ответит на все вопросы, если он подготовил 50 теоретических вопросов и 22 задачи.
эжж Полный ответ на билет состоит из произведения двух событий: студент одновременно ответит на два вопроса (событие А) и решит задачу (событие В).
Число всех возможных комбинаций из 56 вопросов по два составляет 
.
Так как студент подготовил только 50 вопросов, то число благоприятных исходов равно
. Р(А)= 
.
Вероятность события В определяется тем, что студент знает 22 задачи из 28 возможных Р(В) = 
.
Р(АВ)=Р(А)Р(В) = ∙ =0,625.
В заключение обсудим следующий принципиальный вопрос: можно ли доказать, что вероятность выпадения «решки» при одном бросании монеты равна – 
.
Ответ отрицательный. Вообще говоря, сам вопрос не корректен, неясен точный смысл слова «доказать». Ведь доказываем мы что-либо всегда в рамках некоторой модели, в которой уже известны правила, законы, аксиомы, формулы, теоремы и т. п. Если речь идет о воображаемой, «идеальной» монете, то потому-то она и считается идеальной, что, по определению, вероятность выпадения «решки» равна вероятности выпадения «орла». А, в принципе, можно рассмотреть модель, в которой вероятность выпадения «решки» в два раза больше вероятности выпадения «орла» или в три раза меньше и т. п. Тогда возникает вопрос: по какой причине из различных возможных моделей бросания монеты мы выбираем ту, в которой оба исхода бросания равновероятны между собой?
Совсем лобовой ответ таков: «А нам так проще, понятнее и естественнее!» Но есть и более содержательные аргументы. Они приходят из практики. В подавляющем большинстве учебников по теории вероятностей приводят примеры французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (XVIII в.) и английского математика-статистика К. Пирсона (конец XIX в.), которые бросали монету, соответственно, 4040 и 24000 раз и подсчитывали число выпадений «орла» или «решки». У них «решка» выпала, соответственно, 1992 и 11988 раз. Если посчитать частоту выпадения «решки», то получится 
у Бюффона и 
у Пирсона. Возникает естественное предположение, что при неограниченном увеличении числа бросаний монеты частота выпадения «решки», как и частота выпадения «орла», все больше и больше будет приближаться к 0,5. Именно это предположение, основанное на практических данных, является основой нашего выбора в пользу модели с равновероятными исходами.
Кстати, вы вполне можете проверить это предположение даже на большем числе бросаний монеты. Например, если за один день каждый из 25 студентов вашей группы 40 раз бросит монету, то уже получится 1000 бросаний. За месяц «набежит» очень большое число.
Подведем итоги.
Основное понятие – вероятность случайного события, подсчет которой производится в рамках простейшей модели – классической вероятностной схемы. Важное значение и в теории, и в практике имеет понятие противоположного события и формула Р(
) = 1 - Р(А) для нахождения вероятности такого события.
Наконец, мы познакомились с несовместными событиями и с формулами Р(А + В) = Р(А) + Р(В), Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С), позволяющими находить вероятности суммы таких событий.
Контрольные вопросы
1 Что называется испытанием?
2 Как называется результат испытания?
3 Какие виды событий бывают, чем они отличаются?
4 Что такое статистическая вероятность события?
5 Опишите классическую схему нахождения вероятности события.
6 Сформулируйте определение классической вероятности события.
7 Какие события называются противоположными?
8 Чему равна вероятность достоверного события, невозможного события?
9 Какие события называют несовместными?
10 Как можно найти вероятность одного из двух противоположных событий?
11 Какие события называются независимыми?
12 Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.
Тема 6: Элементы математической статистики
Существует вынужденная ложь, которая простительна, намеренная ложь, которой нет оправдания, и статистика.
Р. фон Мизес
Дни отмерены нам статистиками…
С. Е. Лец
Математическая статистика – это раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных. Такие данные приносит учет всякого рода массовых явлений и процессов.
Случайные величины
Случайная величина – переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, температура воздуха в 12 ч дня 1 июля в г. Новосибирске; номер грани, выпадающий при бросании игрального кубика; скорость автомобиля в данный момент времени и т.д.
Для характеристики случайной величины необходимо знать множество возможных значений этой величины и вероятности, с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Например, распределение числа очков при бросании игральной кости описывается равными вероятностями 1/6 для каждого значения от 1 до 6.
Различают случайные величины дискретные и непрерывные. Если множество возможных значений случайной величины конечно (или счетно), то случайная величина называется дискретной. Если случайная величина принимает значения из некоторого числового интервала множества действительных чисел, то такая случайная величина называется непрерывной.
Дискретной случайной называют величину X, которая принимает отдельные значения хi с вероятностями pi.
В зависимости от типа случайной величины – дискретной или непрерывной – возможны различные способы ее задания. Характеристика повторяемости случайных событий есть его вероятность. Поэтому для наиболее полного, исчерпывающего описания случайной величины надо задавать два множества: множество ее значений и множество вероятностей этих значений. В результате приходим к следующему определению.
Законом распределения дискретной случайной величины Х называется всякое соотношение, устанавливающее связь в виде равенства между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений.
Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону распределения.
Закон распределения может быть задан в виде ряда, таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.
Непрерывную случайную величину А следует задавать не указанием вероятностей ее отдельных значений, а непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией, называемой плотностью распреде 
ления вероятностей случайной величины А.
Часто встречается нормальное распределение, или распределение Гаусса. На рисунке показаны два варианта плотности нормального распределения.
Важные характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание М(Х) определяется как среднее взвешенное по формуле 
.
Термин «математическое ожидание» связан с представлением о среднем или наиболее ожидаемом выигрыше в теории азартных игр.
Пример 1. Пусть в некоторой лотерее на каждый билет вероятность выиграть 100 руб. – 3%, 1 000 руб. – 0,5%, 10 000 руб. – 0,01%, других выигрышей нет. Каков средний выигрыш в лотерее (на один билет)?
Решение.Средний выигрыш подсчитывается по формуле математического ожидания
0,03x100 + 0,005x1000 + 0,0001x10 000 = 9 руб.
Дисперсия ( от лат. dispengo – рассыпать, рассеивать, разбрасывать ) D(X) случайной величины X характеризует разброс возможных ее значений относительно математического ожидания и определяется по формуле D(X) = М[Х – М (X)]2.
Для детерминированной величины, принимающей только одно значение х0, математическое ожидание равно х0, а дисперсия равна нулю.
Понятие случайного (стохастического) процесса является расширением понятия случайной величины. Можно сказать, что случайный процесс – это семейство случайных величин, эволюционирующих во времени.
Основные понятия математической статистики
Термин «статистика» в настоящее время употребляется в разных значениях, однако зачастую под ним понимают науку, изучающую массовые явления для выявления закономерностей и получения некоторых обобщенных показателей, кратко характеризующих полученные данные. Как правило, статистика имеет дело с числовыми значениями, которые определяются влиянием множества различных причин, одни из которых – существенные, а другие – случайные. Основная задача статистики состоит в абстрагировании от случайного и выявлении типичного, характерного и закономерного.
Сам термин «статистика» произошел от латинского слова status, что означает «политическое состояние» и первоначально статистикой называли изучение государственных дел, а видных политических деятелей, хорошо осведомленных и потому способных делать обоснованные политические выводы, – statists. Позднее под словом «статистика» стали подразумевать числовые данные, на основе которых государственные деятели делали выводы, а еще позже стали применять и для числовых данных вообще и постепенно пришли к современному значению.
Без статистики невозможно изучать явления и процессы, происходящие в производстве, экономике и т.д. Статистическое изучение тех или иных явлений предполагает в качестве первого шага сбор сведений – статистическое наблюдение. В результате такого наблюдения получается беспорядочная груда сырого материала, нуждающегося в систематизации и обработке.
В основе научной статистики лежит метод группировок. Группировкой называется расчленение совокупности сведений по какому-либо признаку. Благодаря группировкам материал наблюдений принимает упорядоченный (систематизированный) вид. Группировочные признаки могут иметь количественное выражение – заработная плата, успеваемость и т.д. – или качественное – пол, должность, семейное положение и т.п.
Следующий этап обработки собранных данных – вычисление обобщающих показателей. В качестве таких показателей широко известны средние величины. Необходимость вычисления средних величин всегда возникает при изучении массовых явлений. Роль средних величин велика, так как в каждом явлении имеет место сочетание случайности и закономерности. При вычислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопоглощаются и уравновешиваются, поэтому появляется возможность переходить от единичного к общему, от случайного – к закономерному.
