Расчет статистических оценок погрешностей для каждой диаграммы;
Оценка сходимости и воспроизводимости диаграмм.
Анализ точечных диаграмм
Точечную диаграмму строят в координатах «результат измерения (наблюдение при измерении) X – номер измерения n». При построении диаграммы из технических соображений по оси ординат обычно предпочитают откладывать не сами единичные результаты измерений, а их отклонения от некоторого условного значения. Масштаб желательно выбрать таким, чтобы размах R результатов измерений на диаграмме можно было оценить двумя значащими цифрами.
Идеальная точечная диаграмма должна состоять из точек, располагающихся на одинаковой высоте, которая соответствует истинному значению измеряемой физической величины Q (рисунок 1).
| X Q n N Рисунок 4 – Идеальная точечная диаграмма |
Рисунок 2 - «Идеальная» точечная диаграмма
Тенденция изменения результатов может быть вызвана только наличием систематической переменной погрешности определенного вида, следовательно, при наличии тенденции появляется возможность качественного описания систематической погрешности, дополненного некоторыми числовыми оценками.
Тенденции изменения результатов на точечных диаграммах, представленных на рисунке 3 (3 а – наклон, 3 б – мода, 3 в – гармонические изменения аппроксимирующей линии), свидетельствуют о наличии переменных систематических погрешностей.
Характер таких погрешностей в первом приближении можно оценить по виду наблюдаемой тенденции изменения результатов, для оформления которой используют аппроксимирующие линии. Аппроксимацию, как правило, осуществляют простейшими линиями: прямой, участком дуги окружности или параболы, для периодических изменений – синусоидой (косинусоидой).
| Х Х Х N N N а б в Рисунок 3 – Точечные диаграммы с тенденциями изменения результатов: а – прогрессирующая, б – переменная с модой, в – переменная периодическая |
ъ
Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться как случайные составляющие погрешности измерения. Если отклонения результатов от аппроксимирующей линии полагают случайными, их оценивают размахом, предельными значениями или средними квадратическими отклонениями (в последнем случае необходима статистическая обработка отклонений, что выходит за пределы собственно анализа точечных диаграмм).
Следует помнить, что точечная диаграмма не является графиком результатов измерений, поскольку по оси абсцисс не откладывают аргумент какой-либо функции. Любая тенденция изменения результатов свидетельствует только об изменении во времени аргументов, вызывающих переменные систематические погрешности измерений, причем сам аргумент по точечной диаграмме выявить невозможно. Проведение аппроксимирующей линии и оценка тенденции и отклонений от нее осуществляются на основе предположения (допущения) о закономерном изменении аргумента от измерения к измерению. Это предположение накладывает определенные ограничения на проведение серии многократных измерений физической величины. К таким ограничениям относятся неизменность МВИ и измеряемой величины, постоянство условий в широком смысле, включая не только поддержание влияющих величин в нормальной или рабочей области значений, но и психофизиологическое состояние оператора. Наблюдения следует выполнять через примерно одинаковые промежутки времени без перерывов, не дожидаясь явного утомления оператора. Замена оператора может привести к фактическому получению второй серии.
Многократные измерения одной и той же физической величины с использованием одной методики выполнения измерений позволяют численно оценить сходимость измерений внутри серии. Высокая сходимость результатов отражается на диаграмме отсутствием тенденций изменения результатов и малыми случайными отклонениями от среднего значения. В качестве первичной оценки погрешности измерений в серии может быть использован такой параметр, как размах результатов многократных измерений
R′ = Xmax – Xmin.
Геометрическое представление размаха R′ результатов измерений на точечной диаграмме можно получить, проведя через самую верхнюю и самую нижнюю точки прямые, параллельные оси абсцисс.
Размах R' включает в себя как рассеяние результатов из-за случайной составляющей погрешности измерений, так и переменную систематическую составляющую погрешности, вызывающую закономерное изменение результатов во времени. Следует различать размахи R' «неисправленных» и R «исправленных» результатов измерений. «Исправленными» принято называть результаты после исключения из них систематических погрешностей.
«Частичное исправление» результатов измерений с использованием точечной диаграммы можно осуществить наложением на экспериментальные точки аппроксимирующей линии и переходом к оценке случайных составляющих погрешности по отклонениям результатов от построенной тенденции их изменения. Аппроксимирующую линию в этом случае считают отражением систематического изменения результатов (рисунок 4), а отклонения от построенной тенденции («от текущего среднего значения») рассматривают как случайные составляющие каждого из наблюдений. Числовые оценки отклонений определяют по точечной диаграмме с учетом ее масштаба. Предложенный прием позволяет наглядно разделить систематические и случайные составляющие погрешности измерений.
| Х Х R' R' N N а б Рисунок 4 – Размахи R'результатов на точечных диаграммах: а – без тенденции изменения результатов, б – с прогрессирующей тенденцией |
Для оценки размаха «исправленных» результатов измерений R, который определяет рассеяние результатов только из-за наличия случайной составляющей погрешности, исключают влияние переменной систематической составляющей погрешности.
Размах R (рисунок 5) определяют как расстояние между двумя линиями, проведенными эквидистантно аппроксимирующей линии через две наиболее удаленные от нее вверх и вниз точки (с учетом масштаба точечной диаграммы).
Описанное «исправление результатов» измерений названо частичным, поскольку неизвестное (и потому отсутствующее на диаграмме) истинное значение измеряемой величины искусственно заменяется некоторым текущим средним значением, которое воспроизводится на диаграмме аппроксимирующей линией, учитывающей влияние переменной части систематической погрешности. Анализ точечной диаграммы результатов многократных измерений физической величины, полученных с помощью одной методики выполнения измерений, не дает возможности получить информацию о значении постоянной систематической погрешности.
| X R R' N Рисунок 5 – Размах R'неисправленныхрезультатов с тенденцией изменения и размах R, характеризующий рассеяние результатов относительно тенденции их изменения |
Анализ результатов измерений каждой отдельной серии начинают с оценки наличия тенденции изменения результатов измерений. На диаграмму наносят аппроксимирующую линию, причем для аппроксимации выбирают по возможности прямые (отсутствие тенденции изменения результатов или линейно прогрессирующее изменение результатов) или простейшие кривые линии (прогрессирующее изменение с затуханием, модальное или периодическое изменение результатов).
Примерами очевидных тенденций можно считать точечные диаграммы на рисунке 5. На рисунке 5 а просматривается тенденция увеличения результатов, которую проще всего аппроксимировать прямой линией. Такая тенденция свидетельствует о наличии в результатах прогрессирующей систематической погрешности линейного характера. Тенденция на рисунке 5 б – переменная, сначала результаты увеличиваются, а после достижения максимума уменьшаются, что позволяет предложить аппроксимацию дугой окружности или участком синусоиды. Немонотонное изменение результатов может свидетельствовать о наличии периодической систематической составляющей, однако для уверенного заключения об этом экспериментальных данных здесь явно недостаточно. Зато на рисунке 5 в очевидно просматривается периодическая тенденция, которую можно аппроксимировать косинусоидой примерно в 3/4 периода.
Как правило, аппроксимация простейшими линиями оказывается достаточно эффективной, но не исключаются и возможные уточнения, например использование параболы или экспоненты для описания участка прогрессирующих данных или наложение синусоиды на наклонную прямую линию. Однако при этом следует иметь в виду, что стремление к высокой точности в подборе аппроксимирующей линии не имеет смысла, поскольку не гарантирована строгость соответствия точечной диаграммы допущениям, положенным в основу ее построения. Кроме того, при исследовании малых величин (погрешностей измерений) незначительные отклонения в их моделировании обычно являются величинами второго порядка малости и не оказывают значимого влияния на результаты числовых оценок.
После проведения аппроксимирующей линии визуально оценивают экстремальные отклонения от этой линии. При наличии одной или нескольких (двух, максимум трех) точек, явно выпадающих из общей тенденции, делается отрицательное заключение об их принадлежности исследуемому массиву результатов измерений. Результаты, соответствующие этим точкам, оценивают как содержащие грубые погрешности и цензурируют, полагая, что они получены ошибочно. Результаты подозрительные на наличие промахов, но вызывающие сомнения, оставляют для последующего статистического отбраковывания, которое выходит за пределы анализа точечных диаграмм.
Если не наблюдается резко выпадающих из общей тенденции отклонений, то через самые удаленные от нее точки (максимальные отклонения в «плюс» и в «минус») проводят эквидистанты аппроксимирующей линии. Расстояние между ними вдоль оси ординат в масштабе точечной диаграммы равно размаху отклонений R, и рассматривается как предварительная оценка случайной составляющей погрешности анализируемой серии.
Проведенные на точечной диаграмме линии максимальной ширины (проведенные параллельно оси ординат через верхнюю и нижнюю точки), аппроксимирующая линия и эквидистанты позволяют количественно оценить не только размахи отклонений R' и R (общий размах результатов измерений и размах частично исправленных результатов измерений), но и другие параметры и характеристики точечной диаграммы, включая изменение (приращение а) прогрессирующей составляющей в серии результатов, амплитуду А или удвоенную амплитуду 2А периодической составляющей, а также ее ориентировочный период Т в числах (номерах) наблюдений.
Точечная диаграмма в определенных случаях позволяет высказать некоторые суждения не только о сходимости результатов в серии, но и о правильности измерений, поскольку устойчивая тенденция изменения результатов измерений свидетельствует о наличии в них переменной систематической погрешности. Анализ точечных диаграмм позволяет делать логически обоснованные предположения об изменении условий измерений в самом широком понимании этого термина.
Ниже приведены точечные диаграммы (рисунок 6), на основании которых проведен анализ результатов измерений каждой из проведенных серий и примеры гипотетических высказываний о возможных причинах характерных особенностей результатов в сериях.
Точечная диаграмма на рисунке 6 а имеет явно выраженную тенденцию монотонного убывания значений, что свидетельствует о наличии в серии прогрессирующей погрешности (тенденция изменения отражена аппроксимирующей прямой). Результат n j цензурируется как результат с грубой погрешностью – он явно выпадает из общей тенденции, несмотря на то, что его значение близко к значениям в начале серии. Возможные причины появления этого результата – ошибка оператора (промах при манипулировании или при отсчитывании) либо сбой в работе прибора.
Особенностью точечной диаграммы на рисунке 6 б является очевидное наличие двух участков 1 и 2, каждый из которых не имеет явно выраженной тенденции изменения результатов. Резкое (скачкообразное) изменение результатов между участками 1 и 2 свидетельствуют о фактическом изменении условий измерений в серии в широком смысле этого термина (незамеченное изменение влияющей величины, «подмена» измеряемой величины, замена оператора или иное событие), результатом чего стало получение двух серий вместо одной.
| X X 1 2 nj N N а б X X 2A a1 a2 N в г Рисунок 6 – Примеры точечных диаграмм с элементами графического анализа |
Скачкообразное изменение результатов позволяет высказать несколько предположений: возможно, был перерыв в работе, за время которого изменились условия измерений (одна или несколько влияющих величин), произошло мгновенное изменение настройки прибора. В качестве гипотезы можно также рассмотреть возможную «подмену» измеряемой физической величины, то есть фактический переход от одной из номинально одинаковых физических величин к другой, например, из-за незамеченного изменения контрольного сечения (контрольной точки). Высказанные гипотезы можно проверить лишь в ходе экспериментального исследования, поэтому злоупотреблять их выдвижением в курсовой работе не следует.
Точечная диаграмма на рисунке 6 в имеет явно выраженную тенденцию немонотонного изменения значений, что может свидетельствовать о наличии в серии периодической (циклической) погрешности. Возможные тенденции изменения результатов отражены двумя аппроксимирующими линиями – сплошной и штриховой. Предполагаемые тенденции примерно вдвое различаются по периоду и амплитудам. Поскольку для достоверных заключений о наличии периодической погрешности, ее амплитуде и предполагаемом периоде наличной информации недостаточно, по возможности следует продолжить серию измерений, при невозможности – высказать предположения, четко оговаривая принятые допущения.
На рисунке 6 г показана точечная диаграмма с тенденцией практически монотонного изменения значений, которую можно попытаться аппроксимировать либо наклонной прямой (сплошная линия), либо участком дуги (штриховая линия). В последнем случае можно высказать предположение о том, что увеличение результатов в серии прекратилось, и следующие далее наблюдения будут содержать только постоянную систематическую составляющую погрешности измерений.
В индивидуальное задание входит графическое представление двух точечных диаграмм результатов многократных измерений. Требуется провести анализ каждой диаграммы и сравнительный анализ диаграмм.
По каждой точечной диаграмме определяют:
- наличие систематических составляющих погрешностей многократных измерений;
- характер обнаруженных систематических составляющих погрешностей;
- наличие в серии явно выраженных результатов с грубыми погрешностями;
- количественные оценки обнаруженных погрешностей.
Первоначально для каждой серии определяют наличие изменения результатов (тенденции) и характер этого изменения, проводят аппроксимирующие линии, отражающие выявленную тенденцию. Результаты с явно выраженными грубыми погрешностями подлежат цензурированию. После описания этого раздела анализа и его результатов оценивают все возможные числовые характеристики погрешностей измерений. При отсутствии конкретного масштаба числовые характеристики приводят в самостоятельно выбранных относительных единицах. Например: «Тенденция изменения результатов практически отсутствует» или «Наблюдается прогрессирующая тенденция (монотонное линейное уменьшение результатов) и значимые случайные отклонения от аппроксимирующей прямой. Размах случайных отклонений примерно в 1,5 раза меньше значения систематического изменения результатов в пределах серии».
Для точечных диаграмм, представляющих в одинаковых масштабах результаты нескольких серий измерений одной и той же ФВ, полученных с помощью разных МВИ, кроме анализа каждой серии следует провести сравнительный анализ серий. Анализ состоит в сопоставлении качественных и количественных характеристик обеих серий. Все оценки получают непосредственно из точечных диаграмм с учетом масштаба и представляют в относительных единицах, например, R1 ≈ 3R2.
При сопоставлении серий обязательно фиксируют не только наличие различий в характере обнаруженных систематических погрешностей, но и сходимость результатов измерений в каждой серии, и воспроизводимость измерений в разных сериях.
